Упр.36.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (1 + i)4; б) (1 + i)6; в) (1 — i)10; г) (1 — i)20.

Используем формулу Муавра:

$$z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi),$$

где $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).$$

1. $$z=(1+i)^4.$$

   Для числа $$1+i$$ имеем:

   $$r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,\qquad \varphi=\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$ (1+i)^4=\left(\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right)^4 =(\sqrt2)^4\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)=4(-1)=-4. $$

2. $$z=(1+i)^6.$$

   Аналогично:

   $$ (1+i)^6=\left(\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right)^6 =(\sqrt2)^6\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right) =8(0-i)=-8i. $$

3. $$z=(1-i)^{10}.$$

   Для числа $$1-i$$ имеем:

   $$r=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2,\qquad \varphi=-\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$ (1-i)^{10}=\left(\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right)^{10} =(\sqrt2)^{10}\left(\cos\frac{5\pi}{2}-i\sin\frac{5\pi}{2}\right) =32(0-i)=-32i. $$

4. $$z=(1-i)^{20}.$$

   Тогда

   $$ (1-i)^{20}=\left(\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right)^{20} =(\sqrt2)^{20}\left(\cos 5\pi-i\sin 5\pi\right) =1024(-1)= -1024. $$

Ответ

а) $$-4$$; б) $$-8i$$; в) $$-32i$$; г) $$-1024$$.