Упр.36.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) (cos 15° + i sin 15°)8; 6) (cos 15° + i sin 15°)18; в) (cos 75° + i sin 75°)10; г) (cos 75° + i sin 75°)100.

Используем формулу Муавра:

$$\left(\cos \alpha+i\sin \alpha\right)^n=\cos n\alpha+i\sin n\alpha.$$

1. $$\left(\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ\right)^8=\cos 120^\circ+i\sin 120^\circ=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i.$$

2. $$\left(\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ\right)^{18}=\cos 270^\circ+i\sin 270^\circ=-i.$$

3. $$\left(\cos 75^\circ+i\sin 75^\circ\right)^{10}=\cos 750^\circ+i\sin 750^\circ.$$

   Сократим угол:

   $$750^\circ=720^\circ+30^\circ,$$

   значит

   $$\cos 750^\circ+i\sin 750^\circ=\cos 30^\circ+i\sin 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i.$$

4. $$\left(\cos 75^\circ+i\sin 75^\circ\right)^{100}=\cos 7500^\circ+i\sin 7500^\circ.$$

   Сократим угол:

   $$7500^\circ=7200^\circ+300^\circ,$$

   поэтому

   $$\cos 7500^\circ+i\sin 7500^\circ=\cos 300^\circ+i\sin 300^\circ=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$

Ответ

а) $$-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$$; б) $$-i$$; в) $$\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i$$; г) $$\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$.