Упр.36.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть z = 0,5(cos 0,23пи + i sin 0,23пи). Какие числа из множества {z, z2, z3, … , z9, z10}: a) расположены во второй координатной четверти; б) расположены вне крута радиуса 0,2 с центром в начале координат; в) расположены в первой координатной четверти; г) расположены правее оси ординат и внутри круга радиуса 0,001 с центром в начале координат?

Пусть

$$z=0{,}5(\cos 0{,}23\pi+i\sin 0{,}23\pi).$$

По формуле Муавра

$$z^n=0{,}5^n\bigl(\cos(0{,}23n\pi)+i\sin(0{,}23n\pi)\bigr).$$

Найдём аргументы и модули нужных степеней:

$$z^2=0{,}25(\cos 0{,}46\pi+i\sin 0{,}46\pi),$$

$$z^3=0{,}125(\cos 0{,}69\pi+i\sin 0{,}69\pi),$$

$$z^4=0{,}0625(\cos 0{,}92\pi+i\sin 0{,}92\pi),$$

$$z^5=0{,}03125(\cos 1{,}15\pi+i\sin 1{,}15\pi),$$

$$z^6=0{,}015625(\cos 1{,}38\pi+i\sin 1{,}38\pi),$$

$$z^7=0{,}0078125(\cos 1{,}61\pi+i\sin 1{,}61\pi),$$

$$z^8=0{,}00390625(\cos 1{,}84\pi+i\sin 1{,}84\pi),$$

$$z^9=0{,}001953125(\cos 2{,}07\pi+i\sin 2{,}07\pi)=0{,}001953125(\cos 0{,}07\pi+i\sin 0{,}07\pi),$$

$$z^{10}=0{,}0009765625(\cos 2{,}3\pi+i\sin 2{,}3\pi)=0{,}0009765625(\cos 0{,}3\pi+i\sin 0{,}3\pi).$$

Определим расположение точек на комплексной плоскости.

а) Во второй координатной четверти лежат числа, у которых

$$\frac{\pi}{2}<\arg z^n<\pi.$$

Это выполняется для

$$z^3,\ z^4.$$

б) Вне круга радиуса $$0{,}2$$ с центром в начале координат лежат числа с модулем $$\rho>0{,}2.$$

Так как

$$|z|=0{,}5,\quad |z^2|=0{,}25,\quad |z^3|=0{,}125,\ldots,$$

то подходят

$$z,\ z^2.$$

в) В первой координатной четверти лежат числа, для которых

$$0<\arg z^n<\frac{\pi}{2}.$$

Это числа

$$z,\ z^2,\ z^9,\ z^{10}.$$

г) Справа от оси ординат и внутри круга радиуса $$0{,}001$$ лежат числа с положительной действительной частью и модулем $$\rho<0{,}001.$$

Из найденных степеней этому условию удовлетворяет только

$$z^{10},$$

так как

$$|z^{10}|=0{,}0009765625<0{,}001,$$

и аргумент $$0{,}3\pi$$ соответствует правой полуплоскости.

Ответ

а) $$z^3,\ z^4$$; б) $$z,\ z^2$$; в) $$z,\ z^2,\ z^9,\ z^{10}$$; г) $$z^{10}$$.