Упр.36.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть z = cos 0,17пи + i sin 0,17пи. Какие числа из множе ства {z, z2, z3, …, z9, z10}: a) расположены выше оси абсцисс; б) расположены правее оси ординат; в) расположены выше биссектрисы первой и третьей координатной четвертей; г) расположены ниже биссектрисы второй и четвертой координатной четвертей?

Пусть $$z=\cos 0{,}17\pi+i\sin 0{,}17\pi.$$ Тогда по формуле Муавра

$$z^n=\cos(0{,}17n\pi)+i\sin(0{,}17n\pi).$$

Найдём аргументы степеней:

$$ \begin{aligned} z&=\cos 0{,}17\pi+i\sin 0{,}17\pi,\\ z^2&=\cos 0{,}34\pi+i\sin 0{,}34\pi,\\ z^3&=\cos 0{,}51\pi+i\sin 0{,}51\pi,\\ z^4&=\cos 0{,}68\pi+i\sin 0{,}68\pi,\\ z^5&=\cos 0{,}85\pi+i\sin 0{,}85\pi,\\ z^6&=\cos 1{,}02\pi+i\sin 1{,}02\pi,\\ z^7&=\cos 1{,}19\pi+i\sin 1{,}19\pi,\\ z^8&=\cos 1{,}36\pi+i\sin 1{,}36\pi,\\ z^9&=\cos 1{,}53\pi+i\sin 1{,}53\pi,\\ z^{10}&=\cos 1{,}7\pi+i\sin 1{,}7\pi. \end{aligned} $$

Точка $$\cos\alpha+i\sin\alpha$$:

• выше оси абсцисс при $$0<\alpha<\pi$$;
• правее оси ординат при $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ или $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$;
• выше биссектрисы I и III четвертей при $$\frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{5\pi}{4}$$;
• ниже биссектрисы II и IV четвертей при $$\frac{3\pi}{4}<\alpha<\frac{7\pi}{4}$$.

Теперь подставим значения аргументов:

1. выше оси абсцисс: $$z,\ z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5$$;
2. правее оси ординат: $$z,\ z^2,\ z^9,\ z^{10}$$;
3. выше биссектрисы I и III четвертей: $$z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^6,\ z^7$$;
4. ниже биссектрисы II и IV четвертей: $$z^5,\ z^6,\ z^7,\ z^8,\ z^9,\ z^{10}$$.

Ответ

а) $$z,\ z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5$$;
б) $$z,\ z^2,\ z^9,\ z^{10}$$;
в) $$z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^6,\ z^7$$;
г) $$z^5,\ z^6,\ z^7,\ z^8,\ z^9,\ z^{10}$$.