Упр.36.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть z = 2 (cos 0,21пи + i sin 0,21пи). Какие числа из множества {z, z2 , z3 ,… , z9 , z10 }: a) расположены во второй координатной четверти; б) расположены внутри круга радиуса 500 с центром в начале координат; в) расположены в первой координатной четверти; г) расположены правее оси ординат и вне круга радиуса 500 с центром в начале координат?
Запишем степени числа $$z$$ в тригонометрической форме:
$$ z^n=2^n\left(\cos(0{,}21n\pi)+i\sin(0{,}21n\pi)\right). $$
Тогда для $$n=1,2,\dots,10$$ получаем:
$$ \begin{aligned} z&=2(\cos 0{,}21\pi+i\sin 0{,}21\pi),\\ z^2&=4(\cos 0{,}42\pi+i\sin 0{,}42\pi),\\ z^3&=8(\cos 0{,}63\pi+i\sin 0{,}63\pi),\\ z^4&=16(\cos 0{,}84\pi+i\sin 0{,}84\pi),\\ z^5&=32(\cos 1{,}05\pi+i\sin 1{,}05\pi),\\ z^6&=64(\cos 1{,}26\pi+i\sin 1{,}26\pi),\\ z^7&=128(\cos 1{,}47\pi+i\sin 1{,}47\pi),\\ z^8&=256(\cos 1{,}68\pi+i\sin 1{,}68\pi),\\ z^9&=512(\cos 1{,}89\pi+i\sin 1{,}89\pi),\\ z^{10}&=1024(\cos 2{,}1\pi+i\sin 2{,}1\pi)=1024(\cos 0{,}1\pi+i\sin 0{,}1\pi). \end{aligned} $$
Теперь определим, где расположены эти числа.
Во второй координатной четверти находятся числа, у которых $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$. Это выполняется для $$z^3$$ и $$z^4$$.
Внутри круга радиуса $$500$$ с центром в начале координат находятся числа с модулем меньше $$500$$. Так как $$|z^n|=2^n$$, получаем:
$$2^1,2^2,2^3,2^4,2^5,2^6,2^7,2^8<500,\qquad 2^9=512>500.$$
Значит, внутри круга лежат $$z,z^2,z^3,z^4,z^5,z^6,z^7,z^8$$.
В первой координатной четверти находятся числа, для которых $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$. Это $$z$$, $$z^2$$ и $$z^{10}$$.
Правее оси ординат и вне круга радиуса $$500$$ находятся числа с $$\rho>500$$ и при этом в правой полуплоскости. Из найденных степеней это $$z^9$$ и $$z^{10}$$.
Ответ
а) $$z^3,\ z^4$$;
б) $$z,\ z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^6,\ z^7,\ z^8$$;
в) $$z,\ z^2,\ z^{10}$$;
г) $$z^9,\ z^{10}$$.
