Упр.36.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть z = cos 0,19пи + i sin 0,19пи. Какие числа из множества {z, z2, z3,…, z9, z10}: a) расположены выше оси абсцисс; б) расположены правее оси ординат; в) расположены в первой координатной четверти; г) расположены во второй или в четвертой координатной четверти?
Запишем степени числа $$z$$ в тригонометрической форме:
$$ z^n=\cos(0{,}19n\pi)+i\sin(0{,}19n\pi). $$
Найдём аргументы для $$n=1,2,\dots,10$$:
$$ \begin{aligned} z&=\cos 0{,}19\pi+i\sin 0{,}19\pi,\\ z^2&=\cos 0{,}38\pi+i\sin 0{,}38\pi,\\ z^3&=\cos 0{,}57\pi+i\sin 0{,}57\pi,\\ z^4&=\cos 0{,}76\pi+i\sin 0{,}76\pi,\\ z^5&=\cos 0{,}95\pi+i\sin 0{,}95\pi,\\ z^6&=\cos 1{,}14\pi+i\sin 1{,}14\pi,\\ z^7&=\cos 1{,}33\pi+i\sin 1{,}33\pi,\\ z^8&=\cos 1{,}52\pi+i\sin 1{,}52\pi,\\ z^9&=\cos 1{,}71\pi+i\sin 1{,}71\pi,\\ z^{10}&=\cos 1{,}9\pi+i\sin 1{,}9\pi. \end{aligned} $$
Используем расположение аргумента на тригонометрической окружности:
- выше оси абсцисс: $$0<\alpha<\pi$$;
- правее оси ординат: $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ или $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$;
- в первой четверти: $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$;
- во второй или четвертой четверти: $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$ или $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$.
Тогда:
- выше оси абсцисс расположены $$z,\ z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5$$;
- правее оси ординат расположены $$z,\ z^2,\ z^8,\ z^9,\ z^{10}$$;
- в первой координатной четверти расположены $$z,\ z^2$$;
- во второй или в четвертой координатной четверти расположены $$z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^8,\ z^9,\ z^{10}$$.
Ответ
а) $$z,\ z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5$$;
б) $$z,\ z^2,\ z^8,\ z^9,\ z^{10}$$;
в) $$z,\ z^2$$;
г) $$z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^8,\ z^9,\ z^{10}$$.
