Упр.36.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) При каком действительном значении а выражение (a(sin 75° + i cos 75°)12 ) / (i(a + 2i)2 — (14 — 3ai) — 2) является действительным числом? б) При каком действительном значении b выражение (b : (cos 22°30′ — i sin 22°30′)16) / (i(3i — b)2 — (3 — 8bi) — 3) является действительным числом?

Подробный ответ

а) Преобразуем числитель:

$$ a(\sin 75^\circ+i\cos 75^\circ)^{12} = a(\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ)^{12} = a(\cos 180^\circ+i\sin 180^\circ) = -a. $$

Числитель — действительное число.

Преобразуем знаменатель:

$$ \begin{aligned} &i(a+2i)^2-(14-3ai)-2 \\ &= i(a^2+4ai-4)-14+3ai-2 \\ &= ia^2-4a-4i-14+3ai-2 \\ &= (a^2+3a-4)i-16-4a. \end{aligned} $$

Чтобы дробь была действительным числом, знаменатель тоже должен быть действительным, значит

$$ a^2+3a-4=0. $$

Решаем уравнение:

$$ D=3^2+4\cdot 4=25,\qquad a_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}. $$

Получаем:

$$ a_1=-4,\qquad a_2=1. $$

Проверим, при каких значениях выражение имеет смысл:

$$ -16-4(-4)=0,\qquad -16-4\cdot 1=-20\neq 0. $$

Значит, $a=-4$ не подходит, а $a=1$ подходит.

б) Преобразуем числитель:

$$ b:(\cos 22^\circ 30′-i\sin 22^\circ 30′)^{16} = b\left(\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right)^{-16} = b(\cos 2\pi+i\sin 2\pi)=b. $$

Числитель — действительное число.

Преобразуем знаменатель:

$$ \begin{aligned} &i(3i-b)^2-(3-8bi)-3 \\ &= i(9-6bi+b^2)-3+8bi-3 \\ &= -6b-9i+b^2i+8bi-6 \\ &= (b^2+8b-9)i+6b-6. \end{aligned} $$

Чтобы дробь была действительным числом, знаменатель должен быть действительным, значит

$$ b^2+8b-9=0. $$

Решаем уравнение:

$$ D=8^2+4\cdot 9=100,\qquad b_{1,2}=\frac{-8\pm 10}{2}. $$

Получаем:

$$ b_1=-9,\qquad b_2=1. $$

Проверим, при каких значениях выражение имеет смысл:

$$ 6(-9)-6=-60\neq 0,\qquad 6\cdot 1-6=0. $$

Значит, $b=1$ не подходит, а $b=-9$ подходит.