Упр.36.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) z6 + (8 — i)z3 + (1 + i)6 = 0; б) z4 + (2 — 4i)z2 — (1 — i)6 = 0.

а) Обозначим $$x=z^3.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$x^2+(8-i)x+(1+i)^6=0.$$

Найдём $$ (1+i)^6 $$:

$$1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right),$$

$$ (1+i)^6=(\sqrt2)^6\left(\cos\frac{6\pi}{4}+i\sin\frac{6\pi}{4}\right) =8\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=-8i. $$

Тогда

$$x^2+(8-i)x-8i=0.$$

Дискриминант:

$$ D=(8-i)^2-4\cdot 1\cdot(-8i)=64-16i+i^2+32i=63+16i. $$

Заметим, что

$$63+16i=(8+i)^2,$$

значит

$$\sqrt D=8+i.$$

Тогда корни уравнения для $$x$$:

$$ x_{1,2}=\frac{-(8-i)\pm(8+i)}{2}, $$

откуда

$$x_1=-8,\qquad x_2=i.$$

1) Если $$z^3=-8,$$ то

$$ z=2\left(\cos\frac{\pi+2\pi k}{3}+i\sin\frac{\pi+2\pi k}{3}\right),\quad k=0,1,2. $$

Получаем:

$$z_1=1+\sqrt3\,i,\qquad z_2=-2,\qquad z_3=1-\sqrt3\,i.$$

2) Если $$z^3=i,$$ то

$$ z=\cos\frac{\pi/2+2\pi k}{3}+i\sin\frac{\pi/2+2\pi k}{3},\quad k=0,1,2. $$

Получаем:

$$z_4=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\qquad z_5=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\qquad z_6=-i.$$

б) Обозначим $$x=z^2.$$ Тогда

$$x^2+(2-4i)x-(1-i)^6=0.$$

Найдём $$ (1-i)^6 $$:

$$1-i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right),$$

$$ (1-i)^6=(\sqrt2)^6\left(\cos\frac{3\pi}{2}-i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=8i. $$

Следовательно,

$$x^2+(2-4i)x-8i=0.$$

Дискриминант:

$$ D=(2-4i)^2+32i=-12+16i. $$

Заметим, что

$$-12+16i=(2+4i)^2,$$

значит

$$\sqrt D=2+4i.$$

Тогда

$$ x_{1,2}=\frac{-(2-4i)\pm(2+4i)}{2}, $$

откуда

$$x_1=-2,\qquad x_2=4i.$$

1) Если $$z^2=-2,$$ то

$$z=\pm i\sqrt2.$$

2) Если $$z^2=4i,$$ то

$$ z=\pm\sqrt{4i}=\pm\sqrt2(1+i). $$

Ответ

а) $$-2,\; 1\pm\sqrt3\,i,\; \frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\; -\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\; -i.$$

б) $$\pm i\sqrt2,\; \pm\sqrt2(1+i).$$