Упр.36.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Произвольно отметьте на комплексной плоскости число z0, у которого |z0| = 1 и -пи/2 < arg (z0) < 0. a) Изобразите корень уравнения z3 = z0, принадлежащий четвертой координатной четверти. б) Изобразите множество корень кубическийz0 в) Объясните, почему у уравнения z3 = z0 нет корней, расположенных в первой четверти. г) Найдите площадь треугольника с вершинами в точках из пункта б).

Пусть $$z_0$$ — данное комплексное число, причём $$|z_0|=1$$ и $$-\frac{\pi}{2}<\arg(z_0)<0.$$ Тогда уравнение

$$z^3=z_0$$

имеет три корня, расположенные на единичной окружности и отличающиеся по аргументу на $$\frac{2\pi}{3}.$$

Обозначим один из корней через $$z_1$$. Тогда

$$\arg(z_1)=\frac{\arg(z_0)}{3}.$$

Так как $$-\frac{\pi}{2}<\arg(z_0)<0,$$ то

$$-\frac{\pi}{6}<\arg(z_1)<0,$$

значит, корень $$z_1$$ лежит в четвертой четверти.

Остальные корни получаются поворотом на $$\frac{2\pi}{3}:$$

$$\arg(z_2)=\arg(z_1)+\frac{2\pi}{3}, \qquad \arg(z_3)=\arg(z_1)+\frac{4\pi}{3}.$$

Тогда один корень лежит во второй четверти, второй — в третьей, третий — в четвертой. В первой четверти корней нет, потому что при переходе от одного корня к другому аргумент увеличивается на $$\frac{2\pi}{3},$$ и все три корня занимают вершины равностороннего треугольника на единичной окружности.

Следовательно, точки $$z_1, z_2, z_3$$ являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$R=1.$$ Для такого треугольника

$$a=\sqrt{3}R=\sqrt{3},$$

а его площадь равна

$$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot(\sqrt{3})^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}.$$

Ответ

а) Корень в четвертой четверти — $$z_1$$ с аргументом $$\frac{\arg(z_0)}{3}.$$
б) Все корни: $$z_1,\ z_2,\ z_3,$$ вершины равностороннего треугольника на единичной окружности.
в) В первой четверти корней нет.
г) $$S=\frac{3\sqrt{3}}{4}.$$