Упр.36.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Произвольно отметьте на комплексной плоскости число z0, у которого |z0| = 1 и пи/2 < arg (z0) < пи. a) Изобразите корень уравнения z3 = z0, принадлежащий первой координатной четверти. б) Изобразите корень уравнения z3 = z0, принадлежащий четвертой координатной четверти. в) Изобразите множество корень кубическийz0, г) Объясните, почему у уравнения z3 = z0 нет корней, расположенных в третьей четверти.

Пусть $$|z_0|=1$$ и $$\frac{\pi}{2}<\arg(z_0)<\pi.$$ Тогда уравнение

$$z^3=z_0$$

имеет три корня, расположенные на единичной окружности и отличающиеся по аргументу на $$\frac{2\pi}{3}.$$ Если $$\arg(z_0)=\alpha,$$ то аргументы корней равны

$$\frac{\alpha}{3},\quad \frac{\alpha}{3}+\frac{2\pi}{3},\quad \frac{\alpha}{3}+\frac{4\pi}{3}.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то

$$\frac{\pi}{6}<\frac{\alpha}{3}<\frac{\pi}{3},$$

значит, первый корень лежит в первой четверти.

Для второго корня:

$$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}<\arg(z_2)<\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3},$$

то есть

$$\frac{5\pi}{6}<\arg(z_2)<\pi,$$

и он лежит во второй четверти.

Для третьего корня:

$$\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3}<\arg(z_3)<\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi}{3},$$

то есть

$$\frac{3\pi}{2}<\arg(z_3)<\frac{5\pi}{3},$$

и он лежит в четвертой четверти.

Следовательно, корней в третьей четверти нет, потому что их аргументы принимают только значения из первой, второй и четвертой четвертей.

Ответ

а) Корень в первой четверти имеет аргумент $$\frac{\alpha}{3}$$, где $$\alpha=\arg(z_0).$$

б) Корень в четвертой четверти имеет аргумент $$\frac{\alpha}{3}+\frac{4\pi}{3}.$$

в) Все корни уравнения $$z^3=z_0$$ — это три точки на единичной окружности, расположенные через $$\frac{2\pi}{3}$$ друг от друга.

г) В третьей четверти корней нет.