Упр.36.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите и изобразите на комплексной плоскости: a) корень кубический64; б) корень кубический-27; в) корень кубический125i; г) корень кубический-512i.

а) $$\sqrt[3]{64}$$

Представим число в тригонометрической форме:

$$64=64(\cos 0+i\sin 0).$$

Тогда все кубические корни равны

$$\sqrt[3]{64}=4\left(\cos \frac{2\pi k}{3}+i\sin \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2.$$

Получаем:

$$k=0:\quad 4(\cos 0+i\sin 0)=4;$$

$$k=1:\quad 4\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right)=4\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=2(-1+\sqrt3\,i);$$

$$k=2:\quad 4\left(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}\right)=4\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)=-2(1+\sqrt3\,i).$$

б) $$\sqrt[3]{-27}$$

Запишем число в тригонометрической форме:

$$-27=27(\cos \pi+i\sin \pi).$$

Тогда

$$\sqrt[3]{-27}=3\left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{3}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2.$$

Получаем:

$$k=0:\quad 3\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)=3\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=1{,}5(1+\sqrt3\,i);$$

$$k=1:\quad 3\left(\cos \pi+i\sin \pi\right)=-3;$$

$$k=2:\quad 3\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right)=3\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)=1{,}5(1-\sqrt3\,i).$$

в) $$\sqrt[3]{125i}$$

Представим число в тригонометрической форме:

$$125i=125\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right).$$

Тогда

$$\sqrt[3]{125i}=5\left(\cos \frac{\pi+4\pi k}{6}+i\sin \frac{\pi+4\pi k}{6}\right), \quad k=0,1,2.$$

Получаем:

$$k=0:\quad 5\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right)=5\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)=2{,}5(\sqrt3+i);$$

$$k=1:\quad 5\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right)=5\left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)=2{,}5(-\sqrt3+i);$$

$$k=2:\quad 5\left(\cos \frac{9\pi}{6}+i\sin \frac{9\pi}{6}\right)=5(0-i)=-5i.$$

г) $$\sqrt[3]{-512i}$$

Запишем число в тригонометрической форме:

$$-512i=512\left(\cos \frac{3\pi}{2}-i\sin \frac{3\pi}{2}\right)=512\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right)\right).$$

Удобнее взять аргумент $$-\frac{\pi}{2}$$:

$$-512i=512\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right).$$

Тогда

$$\sqrt[3]{-512i}=8\left(\cos \frac{-\pi+4\pi k}{6}+i\sin \frac{-\pi+4\pi k}{6}\right), \quad k=0,1,2.$$

Получаем:

$$k=0:\quad 8\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)=8\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right)=4(\sqrt3-i);$$

$$k=1:\quad 8\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=8i;$$

$$k=2:\quad 8\left(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6}\right)=8\left(-\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right)=-4(\sqrt3+i).$$

Ответ

а) $$4,\; 2(-1+\sqrt3\,i),\; -2(1+\sqrt3\,i)$$

б) $$1{,}5(1+\sqrt3\,i),\; -3,\; 1{,}5(1-\sqrt3\,i)$$

в) $$2{,}5(\sqrt3+i),\; 2{,}5(-\sqrt3+i),\; -5i$$

г) $$4(\sqrt3-i),\; 8i,\; -4(\sqrt3+i)$$