Упр.36.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть z = 3 (cos 0,3пи + i sin 0,3пи). Верно ли, что: a) z6 принадлежит первой координатной четверти; б) z6 принадлежит четвертой координатной четверти, а его модуль больше 1000; в) z6 принадлежит четвертой координатной четверти, а его модуль меньше 750; г) z16 принадлежит второй координатной четверти?

Подробный ответ

Пусть $$z=3(\cos 0{,}3\pi+i\sin 0{,}3\pi).$$

По формуле Муавра:

$$ z^n=3^n\bigl(\cos(0{,}3n\pi)+i\sin(0{,}3n\pi)\bigr). $$

1) Найдём $$z^6$$:

$$ z^6=3^6\bigl(\cos(6\cdot 0{,}3\pi)+i\sin(6\cdot 0{,}3\pi)\bigr) =729(\cos 1{,}8\pi+i\sin 1{,}8\pi). $$

Так как $$\frac{3\pi}{2}<1{,}8\pi<2\pi,$$ то число $$z^6$$ лежит в IV четверти. При этом $$|z^6|=729<750.$$

2) Найдём $$z^{16}$$:

$$ z^{16}=3^{16}\bigl(\cos(16\cdot 0{,}3\pi)+i\sin(16\cdot 0{,}3\pi)\bigr) =3^{16}(\cos 4{,}8\pi+i\sin 4{,}8\pi). $$

Сократим угол по модулю $$2\pi$$:

$$ 4{,}8\pi=2\pi+2{,}8\pi,\qquad 2{,}8\pi=\frac{14\pi}{5}, $$

а значит