Упр.36.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть z = 1+i. Какие числа из множества {z, z2, z3, …, z11, z12}: a) лежат на оси абсцисс; б) правее прямой х = 9; в) лежат левее оси ординат; г) выше прямой у = 2?

Представим число $$z=1+i$$ в тригонометрической форме:

$$|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,\qquad \arg z=\frac{\pi}{4},$$

значит

$$z=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда по формуле Муавра:

$$ z^n=(\sqrt2)^n\left(\cos\frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4}\right). $$

Вычислим нужные степени:

$$ \begin{aligned} z^2&=2i,\\ z^3&=-2+2i,\\ z^4&=-4,\\ z^5&=-4-4i,\\ z^6&=-8i,\\ z^7&=8-8i,\\ z^8&=16,\\ z^9&=16+16i,\\ z^{10}&=32i,\\ z^{11}&=-32+32i,\\ z^{12}&=-64. \end{aligned} $$

Теперь выбираем числа по их координатам на комплексной плоскости.

1. На оси абсцисс лежат числа с $$y=0$$: $$z^4,\ z^8,\ z^{12}.$$
2. Правее прямой $$x=9$$ лежат числа с $$x>9$$: $$z^8,\ z^9.$$
3. Левее оси ординат лежат числа с $$x<0$$: $$z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^{11},\ z^{12}.$$
4. Выше прямой $$y=2$$ лежат числа с $$y>2$$: $$z^9,\ z^{10},\ z^{11}.$$

Ответ

а) $$z^4,\ z^8,\ z^{12}$$;
б) $$z^8,\ z^9$$;
в) $$z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^{11},\ z^{12}$$;
г) $$z^9,\ z^{10},\ z^{11}$$.