Упр.36.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть {z, z2, z3,… , zn, z(n+1), …} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем z = cos 0,01пи — i sin 0,01пи. a) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zn принадлежит второй координатной четверти. б) Сколько в этой прогрессии различных чисел? в) Сколько из этих чисел лежат на осях координат? г) Найдите сумму этих различных чисел.

Подробный ответ

Пусть $$z=\cos 0{,}01\pi-i\sin 0{,}01\pi=\cos\left(-0{,}01\pi\right)+i\sin\left(-0{,}01\pi\right).$$

Тогда

$$z^n=\cos\left(-0{,}01\pi n\right)+i\sin\left(-0{,}01\pi n\right).$$

1) Чтобы число $$z^n$$ лежало во второй координатной четверти, нужно, чтобы его аргумент удовлетворял неравенству

$$\frac{\pi}{2}+2\pi k<-0{,}01\pi n<\pi+2\pi k.$$

Берём подходящий промежуток для наименьшего натурального $$n$$:

$$-\frac{3\pi}{2}<-0{,}01\pi n<-\pi.$$

Умножим на $$-1$$ и разделим на $$0{,}01\pi$$:

$$100<n<150.$$

Наименьшее натуральное значение:

$$n=101.$$

2) Различных чисел в прогрессии столько, сколько различных значений имеет аргумент на окружности до полного оборота:

$$N=\frac{2\pi}{0{,}01\pi}=200.$$

3) На осях координат лежат числа, для которых аргумент кратен $$\frac{\pi}{2}$$:

$$-0{,}01\pi n=-\frac{\pi}{2},\ -\pi,\ -\frac{3\pi}{2},\ -2\pi.$$

Отсюда

$$n=50,\ 100,\ 150,\ 200.$$

Значит, таких чисел четыре.

4) Все 200 различных чисел — это вершины правильного 200-угольника на комплексной плоскости, поэтому они попарно противоположны и сумма всех различных чисел равна нулю.