Упр.36.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть (z, z2, z3,… , zn, z(n+1),…} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем z = cos 0,1пи — i sin 0,1пи. a) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zn принадлежит третьей координатной четверти (не на координатных осях). б) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zn принадлежит второй координатной четверти (не на координатных осях). в) Сколько в этой прогрессии различных чисел? г) Найдите сумму этих различных чисел.

Подробный ответ

Пусть $$z=\cos 0{,}1\pi-i\sin 0{,}1\pi=\cos\left(-0{,}1\pi\right)+i\sin\left(-0{,}1\pi\right).$$ Тогда

$$z^n=\cos\left(-\frac{\pi}{10}n\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{10}n\right).$$

а) Третья четверть соответствует углам

$$\pi+2\pi k<-\frac{\pi}{10}n<\frac{3\pi}{2}+2\pi k.$$

Для наименьшего положительного $n$ достаточно взять интервал

$$-\pi<-\frac{\pi}{10}n<-\frac{\pi}{2}.$$

Тогда

$$\pi>\frac{\pi}{10}n>\frac{\pi}{2}, \qquad 5<n<10.$$

Наименьшее натуральное значение: $$n=6.$$

б) Вторая четверть соответствует углам

$$\frac{\pi}{2}+2\pi k<-\frac{\pi}{10}n<\pi+2\pi k.$$

Для наименьшего положительного $n$ получаем

$$-\frac{3\pi}{2}<-\frac{\pi}{10}n<-\pi.$$

Тогда

$$\frac{3\pi}{2}>\frac{\pi}{10}n>\pi, \qquad 10<n<15.$$

Наименьшее натуральное значение: $$n=11.$$

в) Различные числа в прогрессии повторяются через $20$ членов, так как

$$20\cdot 0{,}1\pi=2\pi.$$

Значит, различных чисел в прогрессии $$20.$$

г) Все $20$ различных чисел — это вершины правильного $20$-угольника на комплексной плоскости. Сумма противоположных вершин равна нулю, поэтому сумма всех различных чисел равна

$$0.$$