Упр.36.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть {z, z2, z3,…, zn, z(n+1),…} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем z = cos 0,03пи + i sin 0,03пи. a) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zn принадлежит второй координатной четверти. б) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zn принадлежит третьей координатной четверти. в) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zn = -1. г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

Члены прогрессии имеют вид

$$z^n=\cos(0{,}03\pi n)+i\sin(0{,}03\pi n).$$

Значит, аргумент числа $z^n$ равен

$$\varphi_n=0{,}03\pi n=\frac{3\pi}{100}n.$$

1. Чтобы число $z^n$ лежало во второй четверти, нужно

   $$\frac{\pi}{2}<\frac{3\pi}{100}n<\pi.$$

   Отсюда

   $$\frac{50}{3}

   Наименьшее натуральное $n$:

   $$n=17.$$

2. Чтобы число $z^n$ лежало в третьей четверти, нужно

   $$\pi<\frac{3\pi}{100}n<\frac{3\pi}{2}.$$

   Отсюда

   $$\frac{100}{3}

   Наименьшее натуральное $n$:

   $$n=34.$$

3. Для равенства $z^n=-1$ нужно, чтобы

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{100}n\right)=-1,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{100}n\right)=0.$$

   Это выполняется при

   $$\frac{3\pi}{100}n=\pi.$$

   Тогда

   $$n=\frac{100}{3},$$

   что не является натуральным числом. Следующее подходящее значение:

   $$\frac{3\pi}{100}n=3\pi \Rightarrow n=100.$$

4. Различные значения прогрессии повторяются через полный оборот аргумента $2\pi$.

   Найдём период по показателю:

   $$\frac{2\pi}{0{,}03\pi}=\frac{2}{0{,}03}=\frac{200}{3}.$$

   Так как $n$ — натуральное число, различными будут значения при $n=1,2,\dots,200$.

   Следовательно, в прогрессии 200 различных чисел.

Ответ

а) $17$; б) $34$; в) $100$; г) $200$.