Упр.36.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть {z, z2у z3, … , zn, z(n+1),…} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем z = cos 0,2 пи + i sin 0,2пи. a) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zn принадлежит второй координатной четверти. б) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zn принадлежит четвертой координатной четверти. в) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zn = 1. г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

Пусть $$z=\cos 0{,}2\pi+i\sin 0{,}2\pi.$$ Тогда

$$z^n=\cos(0{,}2\pi n)+i\sin(0{,}2\pi n).$$

1. Чтобы число $$z^n$$ лежало во второй координатной четверти, нужно

   $$\frac{\pi}{2}<0{,}2\pi n<\pi.$$

   Делим на $$0{,}2\pi$$:

   $$2{,}5

   Наименьшее натуральное $$n=3.$$

2. Чтобы число $$z^n$$ лежало в четвертой координатной четверти, нужно

   $$\frac{3\pi}{2}<0{,}2\pi n<2\pi.$$

   Делим на $$0{,}2\pi$$:

   $$7{,}5<n<10.$$

   Наименьшее натуральное $$n=8.$$

3. Чтобы $$z^n=1,$$ необходимо и достаточно, чтобы

   $$0{,}2\pi n=2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Наименьшее положительное значение получается при $$k=1$$:

   $$0{,}2\pi n=2\pi \Rightarrow n=10.$$

4. Различные значения в прогрессии повторяются с периодом $$10,$$ так как

   $$z^{10}=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1.$$

   Следовательно, различных чисел в прогрессии $$10.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$8$$; в) $$10$$; г) $$10$$.