Упр.36.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Вычислите z12, если z = 2cos пи/8 (sin 3пи/4 + i + i cos 3пи/4); б) вычислите z30, если z = 2sin пи/12 (1 — cos 5пи/6 + i sin 5пи/6).

а) Преобразуем число $$z$$:

$$ z=2\cos \frac{\pi}{8}\left(\sin \frac{3\pi}{4}+i+i\cos \frac{3\pi}{4}\right) $$

Так как $$\sin \frac{3\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4}$$ и $$\cos \frac{3\pi}{4}=-\sin \frac{\pi}{4},$$ получаем

$$ z=2\cos \frac{\pi}{8}\left(2\sin \frac{3\pi}{8}\cos \frac{3\pi}{8}+2i\cos^2 \frac{3\pi}{8}\right) $$

$$ z=4\cos \frac{\pi}{8}\cos \frac{3\pi}{8}\left(\sin \frac{3\pi}{8}+i\cos \frac{3\pi}{8}\right) $$

Используем формулы приведения:

$$ \cos \frac{3\pi}{8}=\sin \frac{\pi}{8}, \qquad \sin \frac{3\pi}{8}=\cos \frac{\pi}{8} $$

Тогда

$$ z=4\cos \frac{\pi}{8}\sin \frac{\pi}{8}\left(\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right) $$

$$ z=2\sin \frac{\pi}{4}\left(\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right) =\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right) $$

По формуле Муавра:

$$ z^{12}=\left(\sqrt{2}\right)^{12}\left(\cos \frac{12\pi}{8}+i\sin \frac{12\pi}{8}\right) $$

$$ z^{12}=2^6\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right) =64(0-i)=-64i $$

б) Преобразуем число $$z$$:

$$ z=2\sin \frac{\pi}{12}\left(1-\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right) $$

Так как $$1-\cos \frac{5\pi}{6}=2\sin^2 \frac{5\pi}{12}$$ и $$\sin \frac{5\pi}{6}=2\sin \frac{5\pi}{12}\cos \frac{5\pi}{12},$$ то

$$ z=2\sin \frac{\pi}{12}\left(2\sin^2 \frac{5\pi}{12}+2i\sin \frac{5\pi}{12}\cos \frac{5\pi}{12}\right) $$

$$ z=4\sin \frac{\pi}{12}\sin \frac{5\pi}{12}\left(\sin \frac{5\pi}{12}+i\cos \frac{5\pi}{12}\right) $$

Используем формулы:

$$ \sin \frac{5\pi}{12}=\cos \frac{\pi}{12}, \qquad \cos \frac{5\pi}{12}=\sin \frac{\pi}{12} $$

Тогда

$$ z=4\sin \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{12}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12}\right) $$

$$ z=2\sin \frac{\pi}{6}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12}\right) =\cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12} $$

По формуле Муавра:

$$ z^{30}=\left(\cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12}\right)^{30} =\cos \frac{30\pi}{12}+i\sin \frac{30\pi}{12} $$

$$ z^{30}=\cos \frac{5\pi}{2}+i\sin \frac{5\pi}{2} =\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}=i $$

Ответ

а) $$-64i$$; б) $$i$$.