Упр.36.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (1 + i корень3)7 + (1 — i корень3)7; б) (16i (sin пи/3 — i cos пи/3)2)/(корень3 + i)4; в) (корень3 + i)5 + (корень3 — i)5; г) (32i (sin пи/6 + i cos пи/6)2)/(корень3 — i)5.

Подробный ответ

а) $$z=(1+i\sqrt{3})^7+(1-i\sqrt{3})^7.$$

Представим числа в тригонометрической форме:

$$1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right),$$

$$1-i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{\pi}{3}-i\sin \frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$ z=2^7\left(\cos \frac{7\pi}{3}+i\sin \frac{7\pi}{3}\right)+2^7\left(\cos \frac{7\pi}{3}-i\sin \frac{7\pi}{3}\right) $$

$$ =2^7\cdot 2\cos \frac{7\pi}{3}=128\cdot 2\cos \frac{\pi}{3}=128. $$

б) $$z=\dfrac{16i\left(\sin \frac{\pi}{3}-i\cos \frac{\pi}{3}\right)^2}{(\sqrt{3}+i)^4}.$$

Имеем

$$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right),$$

поэтому

$$ (\sqrt{3}+i)^4=2^4\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right). $$

Кроме того,

$$ \sin \frac{\pi}{3}-i\cos \frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2} =\frac{\sqrt{3}-i}{2}. $$

Тогда

$$ z=\frac{16i\left(\frac{\sqrt{3}-i}{2}\right)^2}{16\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right)} =\frac{i(\sqrt{3}-i)^2}{4\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right)}. $$

Вычислим квадрат:

$$ (\sqrt{3}-i)^2=3-2\sqrt{3}i-1=2-2\sqrt{3}i=2(1-\sqrt{3}i). $$

Тогда

$$ z=\frac{i(1-\sqrt{3}i)}{2\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right)} =\frac{i(1-\sqrt{3}i)}{2\left(-\frac12+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}. $$

После упрощения получаем

$$z=-i.$$

в) $$z=(\sqrt{3}+i)^5+(\sqrt{3}-i)^5.$$

Запишем числа в тригонометрической форме:

$$ \sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right),\qquad \sqrt{3}-i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}-i\sin \frac{\pi}{6}\right). $$

Тогда

$$ z=2^5\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right)+2^5\left(\cos \frac{5\pi}{6}-i\sin \frac{5\pi}{6}\right) $$

$$ =2^5\cdot 2\cos \frac{5\pi}{6}=64\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-32\sqrt{3}. $$

г) $$z=\dfrac{32i\left(\sin \frac{\pi}{6}+i\cos \frac{\pi}{6}\right)^2}{(\sqrt{3}-i)^5}.$$

Имеем

$$ \sqrt{3}-i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}-i\sin \frac{\pi}{6}\right), $$

поэтому