Упр.36.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (1 + корень3 i)(-3); б) (1 + корень3 i)(-5); в) (корень3 + i)(-7); г) (корень3 — i)(-9).

1. $$z=(1+\sqrt{3}i)^{-3}$$

   Найдём модуль и аргумент числа $$1+\sqrt{3}i$$:

   $$|z_0|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2,\qquad \arg z_0=\arctan \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}.$$

   Тогда

   $$1+\sqrt{3}i=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right).$$

   Возводим в степень $$-3$$:

   $$ z=2^{-3}\left(\cos\left(-3\cdot \frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-3\cdot \frac{\pi}{3}\right)\right) =\frac{1}{8}\left(\cos(-\pi)+i\sin(-\pi)\right). $$

   $$z=\frac{1}{8}(-1+0i)=-\frac{1}{8}.$$

2. $$z=(1+\sqrt{3}i)^{-5}$$

   Как и выше,

   $$1+\sqrt{3}i=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$ z=2^{-5}\left(\cos\left(-5\cdot \frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-5\cdot \frac{\pi}{3}\right)\right) =\frac{1}{32}\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{5\pi}{3}\right)\right). $$

   $$ \cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)=\frac12,\qquad \sin\left(-\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}. $$

   Следовательно,

   $$z=\frac{1}{32}\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=\frac{1}{64}(1+\sqrt3\,i).$$

3. $$z=(\sqrt{3}+i)^{-7}$$

   Найдём модуль и аргумент числа $$\sqrt{3}+i$$:

   $$|z_0|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2,\qquad \arg z_0=\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}.$$

   Значит,

   $$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right).$$

   Тогда

   $$ z=2^{-7}\left(\cos\left(-7\cdot \frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-7\cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) =\frac{1}{128}\left(\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\right). $$

   $$ \cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)=\frac12. $$

   Следовательно,

   $$z=\frac{1}{128}\left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)=\frac{1}{256}(-\sqrt3+i).$$

4. $$z=(\sqrt{3}-i)^{-9}$$

   Для числа $$\sqrt{3}-i$$ имеем

   $$|z_0|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2,\qquad \arg z_0=-\frac{\pi}{6}.$$

   Тогда

   $$\sqrt{3}-i=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).$$

   Возводим в степень $$-9$$:

   $$ z=2^{-9}\left(\cos\left(-9\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)+i\sin\left(-9\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right) =\frac{1}{512}\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right). $$

   $$\cos\frac{3\pi}{2}=0,\qquad \sin\frac{3\pi}{2}=-1,$$

   поэтому

   $$z=-\frac{1}{512}i.$$

Ответ

а) $$-\frac{1}{8}$$; б) $$\frac{1}{64}(1+\sqrt3\,i)$$; в) $$\frac{1}{256}(-\sqrt3+i)$$; г) $$-\frac{1}{512}i$$.