Упр.36.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (1 + i)(-4); б) (1 + i)(-6); в) (1 — i)(-10); г) (1 — i)(-20).

1. $$z=(1+i)^{-4}$$

   Найдём модуль и аргумент числа $$1+i$$:

   $$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,\qquad \arg(1+i)=\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).$$

   Возводим в степень:

   $$ z=\left(\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right)^{-4} =(\sqrt2)^{-4}\left(\cos\left(-\pi\right)+i\sin\left(-\pi\right)\right). $$

   $$z=\frac{1}{4}(\cos\pi-i\sin\pi)=-\frac14.$$

2. $$z=(1+i)^{-6}$$

   Используем то же представление:

   $$ z=(\sqrt2)^{-6}\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)\right) =\frac18\left(\cos\frac{3\pi}{2}-i\sin\frac{3\pi}{2}\right). $$

   Так как $$\cos\frac{3\pi}{2}=0$$ и $$\sin\frac{3\pi}{2}=-1,$$ получаем

   $$z=\frac18\,i.$$

3. $$z=(1-i)^{-10}$$

   Для числа $$1-i$$:

   $$|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2,\qquad \arg(1-i)=-\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$ z=\left(\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right)^{-10} =(\sqrt2)^{-10}\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{2}\right)-i\sin\left(-\frac{5\pi}{2}\right)\right). $$

   $$z=\frac{1}{32}\left(\cos\frac{5\pi}{2}+i\sin\frac{5\pi}{2}\right)=\frac{1}{32}i.$$

4. $$z=(1-i)^{-20}$$

   $$ z=(\sqrt2)^{-20}\left(\cos(5\pi)-i\sin(5\pi)\right) =\frac{1}{1024}\left(\cos\pi+i\sin\pi\right). $$

   Так как $$\cos\pi=-1$$ и $$\sin\pi=0,$$ то

   $$z=-\frac{1}{1024}.$$

Ответ

а) $$-\frac14$$; б) $$\frac18 i$$; в) $$\frac{1}{32}i$$; г) $$-\frac{1}{1024}$$.