Упр.36.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (cos 10° + i sin 10°)(-9); б) (cos 10° — i sin 10°)(-3); в) (cos 10° + i sin 10°)(-12); г) (cos 80° — i sin 80°)(-18).

Используем формулу Муавра:

$$\left(\cos \alpha + i\sin \alpha\right)^n=\cos n\alpha+i\sin n\alpha.$$

1. $$\left(\cos 10^\circ+i\sin 10^\circ\right)^{-9}=\cos(-90^\circ)+i\sin(-90^\circ).$$

   $$\cos(-90^\circ)+i\sin(-90^\circ)=0-i=-i.$$

2. $$\left(\cos 10^\circ-i\sin 10^\circ\right)^{-3}=\cos(-30^\circ)-i\sin(-30^\circ).$$

   $$\cos(-30^\circ)-i\sin(-30^\circ)=\cos 30^\circ+i\sin 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i.$$

3. $$\left(\cos 10^\circ+i\sin 10^\circ\right)^{-12}=\cos(-120^\circ)+i\sin(-120^\circ).$$

   $$\cos(-120^\circ)+i\sin(-120^\circ)=\cos 120^\circ-i\sin 120^\circ=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$

4. $$\left(\cos 80^\circ-i\sin 80^\circ\right)^{-18}=\cos(-1440^\circ)-i\sin(-1440^\circ).$$

   $$\cos(-1440^\circ)-i\sin(-1440^\circ)=\cos 360^\circ+i\sin 360^\circ=1.$$

Ответ

а) $$-i$$; б) $$\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i$$; в) $$-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$; г) $$1$$.