Упр.36.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть z = 2 (cos 0,2пи + i sin 0,2пи). Верно ли, что: a) z4 принадлежит первой координатной четверти; б) z4 принадлежит второй координатной четверти, а его модуль меньше корень300; в) z8 принадлежит третьей координатной четверти; г) z8 принадлежит четвертой координатной четверти, а его модуль больше 100?

Подробный ответ

Пусть $$z=2(\cos 0{,}2\pi+i\sin 0{,}2\pi).$$

По формуле Муавра:

$$z^n=2^n\bigl(\cos(0{,}2n\pi)+i\sin(0{,}2n\pi)\bigr).$$

1) Найдём $$z^4$$:

$$ z^4=2^4\bigl(\cos(4\cdot 0{,}2\pi)+i\sin(4\cdot 0{,}2\pi)\bigr) =16(\cos 0{,}8\pi+i\sin 0{,}8\pi). $$

Так как $$\frac{\pi}{2}<0{,}8\pi<\pi,$$ то число $$z^4$$ лежит во второй координатной четверти. Его модуль равен

$$|z^4|=16,$$

а значит, $$16<\sqrt{300}$$, так как $$16^2=256<300.$$

Следовательно, утверждение а) неверно, б) верно.

2) Найдём $$z^8$$:

$$ z^8=2^8\bigl(\cos(8\cdot 0{,}2\pi)+i\sin(8\cdot 0{,}2\pi)\bigr) =256(\cos 1{,}6\pi+i\sin 1{,}6\pi). $$