Упр.35.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких действительных значениях параметра а: a) уравнение z2 — 2z + а = 0 имеет корень 1 + i; б) уравнение z2 + 6z + а — 0 имеет корень i — 3; в) уравнение z2 — 8z + (а2 + 9) = 0 имеет корень 4 — 3/; г) уравнение z2 + 10z + (а2 + 4а + 5) = 0 имеет корень -5 + i?

1. Пусть $$z=1+i$$. Подставим в уравнение $$z^2-2z+a=0$$:

   $$ (1+i)^2-2(1+i)+a=0 $$

   $$ 1+2i+i^2-2-2i+a=0 $$

   $$ -2+a=0 $$

   $$ a=2 $$

2. Пусть $$z=i-3$$. Подставим в уравнение $$z^2+6z+a=0$$:

   $$ (i-3)^2+6(i-3)+a=0 $$

   $$ i^2-6i+9+6i-18+a=0 $$

   $$ -10+a=0 $$

   $$ a=10 $$

3. Пусть $$z=4-3i$$. Подставим в уравнение $$z^2-8z+(a^2+9)=0$$:

   $$ (4-3i)^2-8(4-3i)+(a^2+9)=0 $$

   $$ 16-24i+9i^2-32+24i+a^2+9=0 $$

   $$ -16+a^2=0 $$

   $$ a^2=16 $$

   $$ a=\pm 4 $$

4. Пусть $$z=-5+i$$. Подставим в уравнение $$z^2+10z+(a^2+4a+5)=0$$:

   $$ (-5+i)^2+10(-5+i)+(a^2+4a+5)=0 $$

   $$ 25-10i+i^2-50+10i+a^2+4a+5=0 $$

   $$ a^2+4a-21=0 $$

   $$ D=4^2-4\cdot 1\cdot(-21)=100 $$

   $$ a=\frac{-4\pm 10}{2} $$

   $$ a=-7 \text{ или } a=3 $$

Ответ

а) $$2$$; б) $$10$$; в) $$\pm 4$$; г) $$-7,\ 3$$.