Упр.35.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение ах2 + 8х + 16 = 0: a) имеет только один корень; б) имеет действительный положительный корень; в) имеет два действительных корня разных знаков; г) имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна 1.
Рассмотрим уравнение $$ax^2+8x+16=0.$$
Если $$a\neq 0,$$ то это квадратное уравнение, и его дискриминант равен
$$D=8^2-4\cdot a\cdot 16=64-64a=64(1-a).$$
Если $$a=0,$$ уравнение становится линейным: $$8x+16=0,$$ откуда $$x=-2.$$
Уравнение имеет только один корень, если:
либо $$D=0,$$ то есть $$64(1-a)=0 \Rightarrow a=1,$$
либо $$a=0,$$ когда уравнение линейное и имеет один корень.
Ответ: $$a=0,\; a=1.$$
Уравнение имеет действительный положительный корень.
При $$a=0$$ корень равен $$x=-2,$$ он не подходит.
При $$a\neq 0$$ положительный корень существует, если корни действительные и хотя бы один из них положителен. По Виету
$$x_1x_2=\frac{16}{a}.$$
Если $$a<0,$$ то произведение корней отрицательно, значит, корни разных знаков, и положительный корень есть.
Если $$a>0,$$ то оба корня не могут быть положительными одновременно при данном уравнении, а при $$D<0$$ действительных корней нет.
Следовательно,
Ответ: $$a<0.$$
Уравнение имеет два действительных корня разных знаков.
Для этого нужно, чтобы $$D>0$$ и $$x_1x_2<0.$$
Имеем
$$x_1x_2=\frac{16}{a}<0 \Rightarrow a<0.$$
При $$a<0$$ дискриминант
$$D=64(1-a)>0,$$
значит, оба корня действительны и разных знаков.
Ответ: $$a<0.$$
Уравнение имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна $$1.$$
Пусть корни $$x_1$$ и $$x_2.$$ Тогда по Виету
$$x_1+x_2=-\frac{8}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{16}{a}.$$
Используем формулу
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$
Тогда
$$\left(-\frac{8}{a}\right)^2-2\cdot \frac{16}{a}=1,$$
$$\frac{64}{a^2}-\frac{32}{a}=1,$$
$$64-32a=a^2,$$
$$a^2+32a-64=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=32^2+4\cdot 64=1024+256=1280=256\cdot 5,$$
$$a=\frac{-32\pm 16\sqrt5}{2}=-16\pm 8\sqrt5.$$
Оба значения подходят по условию существования двух действительных корней: при них $$D>0.$$
Ответ: $$a=-16-8\sqrt5,\; a=-16+8\sqrt5.$$
