Упр.35.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите те значения параметра а, при которых: a) уравнение z2 + az + 5 = 0 имеет корень i; б) уравнение z2 + az + 13 = 0 имеет корень -2i; в) уравнение z2 + az + 24i = 0 имеет корень 1 + i; г) уравнение z2 + аz + 1 + i = 0 имеет корень -3 +

1. а) Подставим корень $$z=i$$ в уравнение $$z^2+az+5=0$$:

   $$i^2+ai+5=0$$

   $$-1+ai+5=0$$

   $$ai=-4$$

   $$a=\frac{-4}{i}=4i$$

2. б) Подставим корень $$z=-2i$$ в уравнение $$z^2+az+13=0$$:

   $$(-2i)^2+a(-2i)+13=0$$

   $$-4-2ai+13=0$$

   $$2ai=9$$

   $$a=\frac{9}{2i}=-\frac{9}{2}i$$

3. в) Подставим корень $$z=1+i$$ в уравнение $$z^2+az+24i=0$$:

   $$ (1+i)^2+a(1+i)+24i=0 $$

   $$1+2i+i^2+a(1+i)+24i=0$$

   $$2i+a(1+i)+24i=0$$

   $$a(1+i)=-26i$$

   $$a=\frac{-26i}{1+i}=\frac{-26i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{-26i+26i^2}{2}=-13-13i$$

4. г) Подставим корень $$z=-3+2i$$ в уравнение $$z^2+az+1+i=0$$:

   $$(-3+2i)^2+a(-3+2i)+1+i=0$$

   $$9-12i+4i^2-3a+2ai+1+i=0$$

   $$6-11i-3a+2ai=0$$

   $$a(2i-3)=-6+11i$$

   $$a=\frac{-6+11i}{2i-3}=\frac{(-6+11i)(-3-2i)}{(2i-3)(-3-2i)}=\frac{40-21i}{13}$$

Ответ

а) $$4i$$; б) $$-\frac{9}{2}i$$; в) $$-13-13i$$; г) $$\frac{40-21i}{13}$$.