Упр.35.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение х2 + ах + 9 = 0: a) имеет хотя бы один действительный корень; б) не имеет действительных корней; в) имеет хотя бы один отрицательный корень; г) имеет два действительных корня, больших, чем 1.

Подробный ответ

Рассмотрим квадратное уравнение $$x^2+ax+9=0.$$ Его дискриминант равен

$$D=a^2-4\cdot 1\cdot 9=a^2-36.$$

Уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если $$D\ge 0.$$ Тогда
$$a^2-36\ge 0,$$
$$a^2\ge 36,$$
$$|a|\ge 6.$$
Уравнение не имеет действительных корней, если $$D<0.$$ Тогда
$$a^2-36<0,$$
$$a^2<36,$$
$$|a|<6.$$
Пусть уравнение имеет хотя бы один отрицательный корень. Корни уравнения:
$$x_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-36}}{2}.$$
Меньший корень должен быть отрицательным:
$$\frac{-a-\sqrt{a^2-36}}{2}<0.$$
Так как знаменатель положителен, получаем
$$-a-\sqrt{a^2-36}<0,$$
$$-a<\sqrt{a^2-36}.$$
Это возможно только при $$a>0.$$ Тогда после возведения в квадрат:
$$a^2<a^2-36,$$
что невозможно. Значит, отрицательный корень существует тогда и только тогда, когда меньший корень действительно отрицателен при допустимых значениях параметра, то есть
$$D\ge 0,\quad -a-\sqrt{a^2-36}<0.$$
Из этих условий получаем
$$a\ge 6.$$
Чтобы уравнение имело два действительных корня, больших чем $$1,$$ нужно, чтобы оба корня были действительными и выполнялось
$$x_1>1,\quad x_2>1.$$
Для меньшего корня:
$$\frac{-a-\sqrt{a^2-36}}{2}>1,$$
$$-a-\sqrt{a^2-36}>2,$$
$$-a-2>\sqrt{a^2-36}.$$
Правая часть неотрицательна, значит необходимо $$-a-2>0,$$ то есть $$a<-2.$$
Теперь возведём в квадрат:
$$(-a-2)^2>a^2-36,$$
$$a^2+4a+4>a^2-36,$$
$$4a>-40,$$
$$a>-10.$$
С учётом условия существования двух действительных корней $$D>0,$$ то есть $$a<-6$$ или $$a>6,$$ получаем
$$-10<a<-6.$$