Упр.35.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите те значения параметра а, при которых: a) уравнение z2 — 2z + а = 0 имеет корень z = i; б) уравнение z2 — 8iz + а = 0 имеет корень 3 — i; т в) уравнение z2 + 6z + а = 0 имеет корень -i; г) уравнение z2 + 10iz + а = 0 имеет корень -10 + i.

1. Если число $$z_0$$ является корнем уравнения $$z^2+pz+a=0$$, то после подстановки получаем значение параметра $$a$$.

2. а) Подставим $$z=i$$ в уравнение $$z^2-2z+a=0$$:

   $$i^2-2i+a=0$$

   $$-1-2i+a=0$$

   $$a=1+2i$$

3. б) Подставим $$z=3-i$$ в уравнение $$z^2-8iz+a=0$$:

   $$ (3-i)^2-8i(3-i)+a=0 $$

   $$ 9-6i+i^2-24i+8i^2+a=0 $$

   $$ 9-30i-1-8+a=0 $$

   $$ -30i+a=0 $$

   $$ a=30i $$

4. в) Подставим $$z=-i$$ в уравнение $$z^2+6z+a=0$$:

   $$(-i)^2+6(-i)+a=0$$

   $$i^2-6i+a=0$$

   $$-1-6i+a=0$$

   $$a=1+6i$$

5. г) Подставим $$z=-10+i$$ в уравнение $$z^2+10iz+a=0$$:

   $$(-10+i)^2+10i(-10+i)+a=0$$

   $$100-20i+i^2-100i+10i^2+a=0$$

   $$100-120i-1-10+a=0$$

   $$89-120i+a=0$$

   $$a=-89+120i$$

Ответ

а) $$1+2i$$; б) $$30i$$; в) $$1+6i$$; г) $$-89+120i$$.