Упр.35.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) z2 — 2iz = 0; б) z2 + 4iz = 0; в) z2 — 3z + 3 + i = 0; г) z2 — 8z + 11 + 12i = 0.
Решим каждое уравнение, вынеся общий множитель или применив формулу квадратного уравнения.
$$z^2-2iz=0$$
$$z(z-2i)=0$$
Отсюда
$$z_1=0,\quad z_2=2i.$$
$$z^2+4iz=0$$
$$z(z+4i)=0$$
Отсюда
$$z_1=0,\quad z_2=-4i.$$
$$z^2-3z+3+i=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=(-3)^2-4(3+i)=9-12-4i=-3-4i.$$
Представим его в виде квадрата:
$$-3-4i=(2i-1)^2.$$
Тогда
$$z=\frac{3\pm(2i-1)}{2}.$$
Получаем:
$$z_1=\frac{3+2i-1}{2}=1+i,\quad z_2=\frac{3-2i+1}{2}=2-i.$$
$$z^2-8z+11+12i=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=8^2-4(11+12i)=64-44-48i=20-48i.$$
Представим его в виде квадрата:
$$20-48i=(6-4i)^2.$$
Тогда
$$z=\frac{8\pm(6-4i)}{2}.$$
Получаем:
$$z_1=\frac{8+6-4i}{2}=7-2i,\quad z_2=\frac{8-6+4i}{2}=1+2i.$$
Ответ
а) $$0,\ 2i$$; б) $$0,\ -4i$$; в) $$1+i,\ 2-i$$; г) $$1+2i,\ 7-2i$$.
