Упр.35.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Изобразите на комплексной плоскости множество кореньz, если: a) |z| = 1, 0 = < arg(z) = < пи/2; б) |z| = 1, 0 < arg(z) < пи; в) |z| = 1, -2пи/3 = < arg(z) = < 0; г) |z| = 1, -пи/4 = < arg(z) = < пи.

Так как во всех пунктах $$|z|=1,$$ то множество $$\sqrt{z}$$ лежит на единичной окружности. При извлечении квадратного корня аргумент делится пополам, поэтому если

$$z=\cos \varphi+i\sin \varphi,$$

то

$$\sqrt{z}=\pm\left(\cos \frac{\varphi}{2}+i\sin \frac{\varphi}{2}\right).$$

Значит, искомое множество состоит из двух дуг единичной окружности, симметричных относительно начала координат.

1. Если $$0\le \arg z\le \frac{\pi}{2},$$ то

   $$0\le \arg \sqrt{z}\le \frac{\pi}{4}.$$

   Получаем дугу единичной окружности в первой четверти и симметричную ей дугу в третьей четверти, обе с включёнными концами.

2. Если $$0<\arg z<\pi,$$ то

   $$0<\arg \sqrt{z}<\frac{\pi}{2}.$$

   Это две открытые дуги единичной окружности: в первой и третьей четвертях.

3. Если $$-\frac{2\pi}{3}\le \arg z\le 0,$$ то

   $$-\frac{\pi}{3}\le \arg \sqrt{z}\le 0.$$

   Получаем дугу единичной окружности в IV четверти и симметричную ей дугу во II четверти, с включёнными концами.

4. Если $$-\frac{\pi}{4}\le \arg z\le \pi,$$ то

   $$-\frac{\pi}{8}\le \arg \sqrt{z}\le \frac{\pi}{2}.$$

   Искомое множество — две дуги единичной окружности: одна от угла $$-\frac{\pi}{8}$$ до $$\frac{\pi}{2},$$ вторая симметричная ей относительно начала координат.

Ответ

Во всех пунктах множество $$\sqrt{z}$$ — это соответствующие дуги единичной окружности, симметричные относительно начала координат:

a) $$0\le \arg \sqrt{z}\le \frac{\pi}{4}$$ и симметричная дуга;
б) $$0<\arg \sqrt{z}<\frac{\pi}{2}$$ и симметричная дуга;
в) $$-\frac{\pi}{3}\le \arg \sqrt{z}\le 0$$ и симметричная дуга;
г) $$-\frac{\pi}{8}\le \arg \sqrt{z}\le \frac{\pi}{2}$$ и симметричная дуга.