Упр.35.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Изобразите на комплексной плоскости число z и множество кореньz, если: a) |z| = 1, arg(z) = пи/4; б) |z| = 4, arg(z) = -пи/4; в) |z| = 9, arg(z) = -3пи/4; г) |z| = 0,25, arg(z) = -9пи/10;

1. а) $$|z|=1,\quad \არგ(z)=\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$z=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}.$$

   Корни числа $$z$$:

   $$\sqrt{z}=\pm \sqrt{1}\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right)=\pm\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right).$$

2. б) $$|z|=4,\quad \arg(z)=-\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$z=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$

   Корни числа $$z$$:

   $$\sqrt{z}=\pm 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right).$$

3. в) $$|z|=9,\quad \arg(z)=-\frac{3\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$z=9\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right).$$

   Корни числа $$z$$:

   $$\sqrt{z}=\pm 3\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{8}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{8}\right)\right).$$

4. г) $$|z|=0{,}25,\quad \arg(z)=-\frac{9\pi}{10}.$$

   Тогда

   $$z=\frac14\left(\cos\left(-\frac{9\pi}{10}\right)+i\sin\left(-\frac{9\pi}{10}\right)\right).$$

   Корни числа $$z$$:

   $$\sqrt{z}=\pm \frac12\left(\cos\left(-\frac{9\pi}{20}\right)+i\sin\left(-\frac{9\pi}{20}\right)\right).$$

Ответ

а) $$z=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4},\quad \sqrt{z}=\pm\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right);$$

б) $$z=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right),\quad \sqrt{z}=\pm 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right);$$

в) $$z=9\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right),\quad \sqrt{z}=\pm 3\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{8}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{8}\right)\right);$$

г) $$z=\frac14\left(\cos\left(-\frac{9\pi}{10}\right)+i\sin\left(-\frac{9\pi}{10}\right)\right),\quad \sqrt{z}=\pm \frac12\left(\cos\left(-\frac{9\pi}{20}\right)+i\sin\left(-\frac{9\pi}{20}\right)\right).$$