Упр.35.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Изобразите на комплексной плоскости число z и множество кореньz, если: a) |z| = 1, arg(z) = пи/2; б) |z| = 4, arg(z) = -пи/2; в) |z| = 9, arg(z) = пи/3; г) |z| = 0,25, arg(z) = -2пи/3;
а) $$|z|=1,\ \arg(z)=\frac{\pi}{2}$$
Тогда
$$z=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i.$$
Корни числа $$z$$:
$$\sqrt{z}=\pm \sqrt{1}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\pm\left(\cos45^\circ+i\sin45^\circ\right).$$
б) $$|z|=4,\ \arg(z)=-\frac{\pi}{2}$$
Тогда
$$z=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=-4i.$$
Корни числа $$z$$:
$$\sqrt{z}=\pm \sqrt{4}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\pm2\left(\cos(-45^\circ)+i\sin(-45^\circ)\right).$$
в) $$|z|=9,\ \arg(z)=\frac{\pi}{3}$$
Тогда
$$z=9\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=\frac{9}{2}+i\frac{9\sqrt{3}}{2}.$$
Корни числа $$z$$:
$$\sqrt{z}=\pm \sqrt{9}\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=\pm3\left(\cos30^\circ+i\sin30^\circ\right).$$
г) $$|z|=0{,}25,\ \arg(z)=-\frac{2\pi}{3}$$
Тогда
$$z=\frac14\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right).$$
Корни числа $$z$$:
$$\sqrt{z}=\pm \sqrt{\frac14}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)=\pm\frac12\left(\cos(-60^\circ)+i\sin(-60^\circ)\right).$$
На комплексной плоскости число $$z$$ изображается точкой с модулем $$|z|$$ и аргументом $$\arg(z)$$, а множество $$\sqrt{z}$$ состоит из двух точек, симметричных относительно начала координат.
Ответ
а) $$z=i,\ \sqrt{z}=\pm\left(\cos45^\circ+i\sin45^\circ\right)$$;
б) $$z=-4i,\ \sqrt{z}=\pm2\left(\cos(-45^\circ)+i\sin(-45^\circ)\right)$$;
в) $$z=\frac{9}{2}+i\frac{9\sqrt{3}}{2},\ \sqrt{z}=\pm3\left(\cos30^\circ+i\sin30^\circ\right)$$;
г) $$z=\frac14\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right),\ \sqrt{z}=\pm\frac12\left(\cos(-60^\circ)+i\sin(-60^\circ)\right)$$.
