Упр.35.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) корень(5 + 8i); б) корень(5 — 8i); в) корень(24 — 7i); г) корень(40 + 9i).

1. Используем формулу для квадратного корня из комплексного числа $$a+bi$$:

   $$\sqrt{a+bi}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\cdot \operatorname{sgn}(b)\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right).$$

2. а) $$\sqrt{15+8i}$$

   $$\sqrt{15+8i}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{15^2+8^2}+15}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{15^2+8^2}-15}{2}}\right)$$

   $$=\pm\left(\sqrt{\frac{17+15}{2}}+i\sqrt{\frac{17-15}{2}}\right)=\pm(4+i).$$

3. б) $$\sqrt{15-8i}$$

   $$\sqrt{15-8i}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{15^2+8^2}+15}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{15^2+8^2}-15}{2}}\right)$$

   $$=\pm\left(\sqrt{\frac{17+15}{2}}-i\sqrt{\frac{17-15}{2}}\right)=\pm(4-i).$$

4. в) $$\sqrt{24-7i}$$

   $$\sqrt{24-7i}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{24^2+7^2}+24}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{24^2+7^2}-24}{2}}\right)$$

   $$=\pm\left(\sqrt{\frac{25+24}{2}}-i\sqrt{\frac{25-24}{2}}\right)=\pm\left(\frac{7}{\sqrt2}-\frac{i}{\sqrt2}\right)=\pm\frac{7-i}{\sqrt2}.$$

5. г) $$\sqrt{40+9i}$$

   $$\sqrt{40+9i}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{40^2+9^2}+40}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{40^2+9^2}-40}{2}}\right)$$

   $$=\pm\left(\sqrt{\frac{41+40}{2}}+i\sqrt{\frac{41-40}{2}}\right)=\pm\left(\frac{9}{\sqrt2}+\frac{i}{\sqrt2}\right)=\pm\frac{9+i}{\sqrt2}.$$

Ответ

а) $$\pm(4+i)$$; б) $$\pm(4-i)$$; в) $$\pm\frac{7-i}{\sqrt2}$$; г) $$\pm\frac{9+i}{\sqrt2}$$.