Упр.35.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите корень(a + bi), решив уравнение (х + yi)2 = а + bi: a) корень4; б) корень(-4); в) корень9i; г) корень(-25i)
Ищем число вида $$x+yi$$, квадрат которого равен данному комплексному числу:
$$ (x+yi)^2=a+bi. $$
Тогда
$$ x^2-y^2+2xyi=a+bi, $$
откуда получаем систему
$$ \begin{cases} x^2-y^2=a,\\ 2xy=b. \end{cases} $$
$$\sqrt{4}$$
$$ \begin{cases} x^2-y^2=4,\\ 2xy=0. \end{cases} $$
Из $$2xy=0$$ следует, что либо $$x=0$$, либо $$y=0$$. Если $$x=0$$, то $$-y^2=4$$ — невозможно. Значит, $$y=0$$.
Тогда $$x^2=4$$, откуда $$x=\pm 2$$.
$$\sqrt{4}=\pm 2.$$
$$\sqrt{-4}$$
$$ \begin{cases} x^2-y^2=-4,\\ 2xy=0. \end{cases} $$
Если $$y=0$$, то $$x^2=-4$$ — невозможно. Значит, $$x=0$$.
Тогда $$-y^2=-4$$, откуда $$y=\pm 2$$.
$$\sqrt{-4}=\pm 2i.$$
$$\sqrt{9i}$$
$$ \begin{cases} x^2-y^2=0,\\ 2xy=9. \end{cases} $$
Из $$x^2=y^2$$ получаем $$y=\pm x$$. Так как $$2xy=9>0$$, то $$x$$ и $$y$$ одного знака, значит, $$y=x$$.
Тогда
$$ 2x^2=9,\qquad x^2=\frac{9}{2},\qquad x=\pm \frac{3\sqrt2}{2}. $$
Следовательно,
$$ \sqrt{9i}=\pm \frac{3\sqrt2}{2}(1+i). $$
$$\sqrt{-25i}$$
$$ \begin{cases} x^2-y^2=0,\\ 2xy=-25. \end{cases} $$
Из $$x^2=y^2$$ получаем $$y=\pm x$$. Так как $$2xy=-25<0$$, то $$x$$ и $$y$$ разных знаков, значит, $$y=-x$$.
Тогда
$$ -2x^2=-25,\qquad x^2=\frac{25}{2},\qquad x=\pm \frac{5\sqrt2}{2}. $$
Следовательно,
$$ \sqrt{-25i}=\pm \frac{5\sqrt2}{2}(1-i). $$
Ответ
$$\sqrt{4}=\pm 2,\quad \sqrt{-4}=\pm 2i,\quad \sqrt{9i}=\pm \frac{3\sqrt2}{2}(1+i),\quad \sqrt{-25i}=\pm \frac{5\sqrt2}{2}(1-i).$$
