Упр.35.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких действительных значениях параметра а: a) уравнение z2 + аz + 5 = 0 имеет корень 2 + i; б) уравнение z2 + az + 13 = 0 имеет корень -2 — 3i; в) уравнение z2 + (1 — а2)z + 25 = 0 имеет корень 4 + Зi; г) уравнение z2 + (а2 + 2а + 2)z + 41 = 0 имеет корень -5 + 4i?
Если число $$x+yi$$ является корнем уравнения с действительными коэффициентами, то после подстановки получаем равенство нулю для действительной и мнимой частей отдельно.
а) $$z^2+az+5=0,$$ корень $$2+i.$$
$$ (2+i)^2+a(2+i)+5=0 $$
$$ 4+4i+i^2+2a+ai+5=0 $$
$$ 8+2a+(4+a)i=0 $$
$$ \begin{cases} 2a+8=0,\\ a+4=0 \end{cases} $$
$$ a=-4 $$б) $$z^2+az+13=0,$$ корень $$-2-3i.$$
$$ (-2-3i)^2+a(-2-3i)+13=0 $$
$$ 4+12i+9i^2-2a-3ai+13=0 $$
$$ 8-2a+(12-3a)i=0 $$
$$ \begin{cases} 8-2a=0,\\ 12-3a=0 \end{cases} $$
$$ a=4 $$в) $$z^2+(1-a^2)z+25=0,$$ корень $$4+3i.$$
$$ (4+3i)^2+(1-a^2)(4+3i)+25=0 $$
$$ 16+24i+9i^2+4+3i-4a^2-3a^2i+25=0 $$
$$ 36-4a^2+(27-3a^2)i=0 $$
$$ \begin{cases} 36-4a^2=0,\\ 27-3a^2=0 \end{cases} $$
$$ a^2=9,\quad a=\pm 3 $$г) $$z^2+(a^2+2a+2)z+41=0,$$ корень $$-5+4i.$$
$$ (-5+4i)^2+(a^2+2a+2)(-5+4i)+41=0 $$
$$ 25-40i+16i^2-5a^2-10a-10+4a^2i+8ai-10+8i+41=0 $$
$$ -5a^2-10a+40+(4a^2+8a-32)i=0 $$
$$ \begin{cases} -5a^2-10a+40=0,\\ 4a^2+8a-32=0 \end{cases} $$
$$ a^2+2a-8=0 $$
$$ D=2^2+32=36 $$
$$ a_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2} $$
$$ a_1=-4,\quad a_2=2 $$
Ответ
а) $$-4$$; б) $$4$$; в) $$\pm 3$$; г) $$-4,\ 2$$.
