Упр.34.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Про комплексное число z известно, что Re z = 3 или Im z = 4. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что: a) |z| = 3; б) |z| = 4; в) |z| = 5; г) |z| = 10?
Пусть $$z=x+yi$$, тогда $$\operatorname{Re} z=x$$, $$\operatorname{Im} z=y$$, а модуль числа равен $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$.
Рассмотрим оба случая: $$x=3$$ или $$y=4$$.
а) $$|z|=3$$
Тогда $$x^2+y^2=9$$.
Если $$x=3$$, то
$$3^2+y^2=9 \\ y^2=0 \\ y=0.$$
Получаем число $$z=3$$.
Если $$y=4$$, то
$$x^2+4^2=9 \\ x^2=-7,$$
что невозможно.
Итак, таких чисел 1.
б) $$|z|=4$$
Тогда $$x^2+y^2=16$$.
Если $$x=3$$, то
$$3^2+y^2=16 \\ y^2=7 \\ y=\pm\sqrt7.$$
Получаем два числа: $$3+\sqrt7\,i$$ и $$3-\sqrt7\,i$$.
Если $$y=4$$, то
$$x^2+4^2=16 \\ x^2=0 \\ x=0.$$
Получаем число $$4i$$.
Итак, таких чисел 3.
в) $$|z|=5$$
Тогда $$x^2+y^2=25$$.
Если $$x=3$$, то
$$3^2+y^2=25 \\ y^2=16 \\ y=\pm4.$$
Получаем два числа: $$3+4i$$ и $$3-4i$$.
Если $$y=4$$, то
$$x^2+4^2=25 \\ x^2=9 \\ x=\pm3.$$
Получаем два числа: $$3+4i$$ и $$-3+4i$$.
Всего различных чисел 3.
г) $$|z|=10$$
Тогда $$x^2+y^2=100$$.
Если $$x=3$$, то
$$3^2+y^2=100 \\ y^2=91 \\ y=\pm\sqrt{91}.$$
Получаем два числа: $$3+\sqrt{91}\,i$$ и $$3-\sqrt{91}\,i$$.
Если $$y=4$$, то
$$x^2+4^2=100 \\ x^2=84 \\ x=\pm\sqrt{84}=\pm2\sqrt{21}.$$
Получаем два числа: $$2\sqrt{21}+4i$$ и $$-2\sqrt{21}+4i$$.
Итак, таких чисел 4.
Ответ
а) 1; б) 3; в) 3; г) 4.
