Упр.34.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Про комплексное число z известно, что Re z = 3 или Re z = 6. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что: a) |z| = 3; б) |z| = 4; в) |z| = 6; г) |z| = 10?
Пусть $$z=x+yi$$, тогда $$\operatorname{Re} z=x$$, а модуль равен $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$.
По условию $$\operatorname{Re} z=3$$ или $$\operatorname{Re} z=6$$, то есть нужно проверить, существуют ли точки с абсциссой $$x=3$$ или $$x=6$$ на окружности $$x^2+y^2=r^2$$.
$$|z|=3$$, значит $$x^2+y^2=9$$.
Если $$x=3$$, то
$$3^2+y^2=9 \Rightarrow y^2=0 \Rightarrow y=0.$$
Если $$x=6$$, то
$$6^2+y^2=9 \Rightarrow y^2=-27,$$
что невозможно.
Итак, таких чисел $$1$$.
$$|z|=4$$, значит $$x^2+y^2=16$$.
Если $$x=3$$, то
$$3^2+y^2=16 \Rightarrow y^2=7 \Rightarrow y=\pm\sqrt7.$$
Если $$x=6$$, то
$$6^2+y^2=16 \Rightarrow y^2=-20,$$
что невозможно.
Итак, таких чисел $$2$$.
$$|z|=6$$, значит $$x^2+y^2=36$$.
Если $$x=3$$, то
$$3^2+y^2=36 \Rightarrow y^2=27 \Rightarrow y=\pm 3\sqrt3.$$
Если $$x=6$$, то
$$6^2+y^2=36 \Rightarrow y^2=0 \Rightarrow y=0.$$
Итак, таких чисел $$3$$.
$$|z|=10$$, значит $$x^2+y^2=100$$.
Если $$x=3$$, то
$$3^2+y^2=100 \Rightarrow y^2=91 \Rightarrow y=\pm\sqrt{91}.$$
Если $$x=6$$, то
$$6^2+y^2=100 \Rightarrow y^2=64 \Rightarrow y=\pm 8.$$
Итак, таких чисел $$4$$.
Ответ
а) $$1$$; б) $$2$$; в) $$3$$; г) $$4$$.
