Упр.34.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каком положительном значении параметра а модуль данного числа равен 10: a) а + 8i; б) 2а + ai; в) (а + 1) + (а — 1)i; г) а + 50i/a.

1. а) $$z=a+8i$$

   Тогда

   $$|z|=\sqrt{a^2+8^2}=10$$

   $$\sqrt{a^2+64}=10$$

   $$a^2+64=100$$

   $$a^2=36$$

   Так как $$a>0$$, то $$a=6$$.

2. б) $$z=2a+ai$$

   $$|z|=\sqrt{(2a)^2+a^2}=10$$

   $$\sqrt{4a^2+a^2}=10$$

   $$5a^2=100$$

   $$a^2=20$$

   Так как $$a>0$$, то $$a=2\sqrt{5}$$.

3. в) $$z=(a+1)+(a-1)i$$

   $$|z|=\sqrt{(a+1)^2+(a-1)^2}=10$$

   $$\sqrt{a^2+2a+1+a^2-2a+1}=10$$

   $$\sqrt{2a^2+2}=10$$

   $$2a^2+2=100$$

   $$2a^2=98$$

   $$a^2=49$$

   Так как $$a>0$$, то $$a=7$$.

4. г) $$z=a+\frac{50i}{a}$$

   Здесь $$a\neq 0$$, а по условию $$a>0$$.

   $$|z|=\sqrt{a^2+\left(\frac{50}{a}\right)^2}=10$$

   $$a^2+\frac{2500}{a^2}=100$$

   $$a^4-100a^2+2500=0$$

   $$\left(a^2-50\right)^2=0$$

   $$a^2=50$$

   Так как $$a>0$$, то $$a=5\sqrt{2}$$.

Ответ

а) $$6$$; б) $$2\sqrt{5}$$; в) $$7$$; г) $$5\sqrt{2}$$.