Упр.34.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел z, удовлетворяющих условию |zi — 3 + 4i| = < |1/2 - i корень3 / 2|. Чему равно наименьшее значение |z|? б) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел z, удовлетворяющих условию |zi - 3 - 4i| = < |1/2 + i корень3 / 2|. Чему равно наименьшее значение |z|?

Подробный ответ

а) Так как $$\left|\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right|=1,$$ то неравенство равносильно
$$|zi-3i+4|\le 1.$$

Пусть $$z=x+yi.$$ Тогда
$$zi=x i+y i^2=-y+xi,$$
и
$$zi-3i+4=(4-y)+(x-3)i.$$

Следовательно,
$$\sqrt{(4-y)^2+(x-3)^2}\le 1,$$
то есть
$$ (x-3)^2+(y-4)^2\le 1.$$

Это круг с центром $$A(3;4)$$ и радиусом $$1.$$ Наименьшее значение $$|z|$$ равно расстоянию от начала координат до ближайшей точки круга:

$$|z|_{\min}=\sqrt{3^2+4^2}-1=5-1=4.$$

б) Так как $$\left|\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right|=1,$$ то неравенство равносильно
$$|zi-3-4i|\le 1.$$

Пусть $$z=x+yi.$$ Тогда
$$zi=-y+xi,$$
и
$$zi-3-4i=(-y-3)+(x-4)i.$$

Следовательно,
$$\sqrt{(-y-3)^2+(x-4)^2}\le 1,$$
то есть
$$ (x-4)^2+(y+3)^2\le 1.$$

Это круг с центром $$B(4;-3)$$ и радиусом $$1.$$ Наименьшее значение $$|z|$$ равно расстоянию от начала координат до ближайшей точки круга:

$$|z|_{\min}=\sqrt{4^2+3^2}-1=5-1=4.$$