Упр.34.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Среди корней z уравнения корень3 (z + z)(z — z) = 4i9 найдите число, аргумент которого равен пи/6. б) Среди корней z уравнения Re z * Im z = корень3 / i6 найдите число, аргумент которого равен пи/3.

Подробный ответ

Пусть $$z=x+yi$$, где $$x=\operatorname{Re} z$$, $$y=\operatorname{Im} z$$.
Тогда
$$\sqrt{3}(z+\overline z)(z-\overline z)=4i^9.$$
Подставим $$z=x+yi$$ и $$\overline z=x-yi$$:
$$\sqrt{3}\bigl((x+yi)+(x-yi)\bigr)\bigl((x+yi)-(x-yi)\bigr)=4i^9,$$
$$\sqrt{3}\cdot 2x \cdot 2yi=4i\cdot (i^2)^4,$$
$$4\sqrt{3}xy\,i=4i,$$
откуда
$$\sqrt{3}xy=1,\qquad y=\frac{1}{x\sqrt{3}}.$$
Если аргумент числа равен $$\frac{\pi}{6}$$, то
$$y=x\tan\frac{\pi}{6}=\frac{x}{\sqrt{3}}.$$
Тогда
$$\sqrt{3}x\cdot \frac{x}{\sqrt{3}}=1,$$
$$x^2=1.$$
Так как $$\arg z=\frac{\pi}{6}$$, то $$x>0$$, значит $$x=1$$, а
$$y=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Следовательно,
$$z=1+\frac{1}{\sqrt{3}}i.$$
Теперь рассмотрим уравнение
$$\operatorname{Re} z\cdot \operatorname{Im} \overline z=\frac{\sqrt{3}}{i^6}.$$
Так как $$\operatorname{Re} z=x$$, $$\operatorname{Im}\overline z=-y$$, а $$i^6=-1$$, то
$$x(-y)=\frac{\sqrt{3}}{-1},$$
$$-xy=-\sqrt{3},$$
$$xy=\sqrt{3},\qquad y=\frac{\sqrt{3}}{x}.$$
Если аргумент числа равен $$\frac{\pi}{3}$$, то
$$y=x\tan\frac{\pi}{3}=x\sqrt{3}.$$
Тогда
$$x\cdot x\sqrt{3}=\sqrt{3},$$
$$x^2=1.$$
Так как $$\arg z=\frac{\pi}{3}$$, то $$x>0$$, значит $$x=1$$, а
$$y=\sqrt{3}.$$
Следовательно,
$$z=1+i\sqrt{3}.$$