Упр.34.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Для числа z = cos (0,11пи) + i sin (0,11пи) укажите наименьшее натуральное число n, при котором: a) arg (zn) > пи/4; б) arg (zn) > пи/2 в) arg (zn) > 5пи/6; r) arg (zn) < 0.

Пусть $$z=\cos(0{,}11\pi)+i\sin(0{,}11\pi).$$ Тогда

$$z^n=\cos(0{,}11\pi n)+i\sin(0{,}11\pi n),$$

значит,

$$\arg(z^n)=0{,}11\pi n.$$

а) Требуется, чтобы

$$0{,}11\pi n>\frac{\pi}{4}.$$

Тогда

$$0{,}11n>0{,}25,$$

$$n>\frac{0{,}25}{0{,}11}=\frac{25}{11}.$$

Наименьшее натуральное $$n=3.$$

б)

$$0{,}11\pi n>\frac{\pi}{2},$$

$$0{,}11n>0{,}5,$$

$$n>\frac{0{,}5}{0{,}11}=\frac{50}{11}.$$

Наименьшее натуральное $$n=5.$$

в)

$$0{,}11\pi n>\frac{5\pi}{6},$$

$$0{,}11n>\frac{5}{6},$$

$$n>\frac{5/6}{0{,}11}=\frac{500}{66}=\frac{250}{33}.$$

Наименьшее натуральное $$n=8.$$

г) Для отрицательного аргумента нужно, чтобы

$$0{,}11\pi n>\pi,$$

то есть

$$0{,}11n>1,$$

$$n>\frac{1}{0{,}11}=\frac{100}{11}.$$

Наименьшее натуральное $$n=10.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$5$$; в) $$8$$; г) $$10$$.