Упр.34.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) z = z1/z2; б) z = z2/z1; в) z = (z1)2 / z2; г) z = (z1)3 / (z2)5.

Запишем данные числа в тригонометрической форме:

$$ z_1=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}, $$
$$ z_2=-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i=\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}. $$

1. $$ a)\quad z=\frac{z_1}{z_2}=1\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)\right) $$
   $$ =\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-i. $$

2. $$ б)\quad z=\frac{z_2}{z_1}=1\cdot\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\right) $$
   $$ =\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i. $$

3. $$ в)\quad z=\frac{z_1^2}{z_2}=1^2\cdot\left(\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)\right) $$
   $$ =\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right). $$

4. $$ г)\quad z=\frac{z_1^3}{z_2^5}=1^3\cdot\left(\cos\left(3\cdot\frac{\pi}{4}-5\cdot\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(3\cdot\frac{\pi}{4}-5\cdot\frac{3\pi}{4}\right)\right) $$
   $$ =\cos(-3\pi)+i\sin(-3\pi)=-1. $$

Ответ

а) $$-i$$; б) $$i$$; в) $$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$; г) $$-1$$.