Упр.34.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Для комплексных чисел z1 = 3 — i и z2 = 1 + 2i: a) найдите |z1| и |z2| и проверьте равенства |z1| = |z1| и |z2| = |z2|

Пусть $$z_1=3-i,$$ $$z_2=1+2i.$$ Тогда

$$|z_1|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10},$$
$$|z_2|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.$$

Проверим равенство $$|\overline{z_1}|=|z_1|$$ и $$|\overline{z_2}|=|z_2|.$$

$$\overline{z_1}=3+i,\qquad |\overline{z_1}|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10},$$
$$\overline{z_2}=1-2i,\qquad |\overline{z_2}|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}.$$

Следовательно, $$|\overline{z_1}|=|z_1|$$ и $$|\overline{z_2}|=|z_2|.$$

Проверим неравенство $$|z_1+z_2|<|z_1|+|z_2|.$$

$$z_1+z_2=(3-i)+(1+2i)=4+i,$$
$$|z_1+z_2|=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}.$$

$$|z_1|+|z_2|=\sqrt{10}+\sqrt{5}.$$

Имеем

$$\sqrt{17}<\sqrt{10}+\sqrt{5},$$ так как после возведения в квадрат получаем $$17<15+2\sqrt{50},$$ $$2<2\sqrt{50},$$ $$1<\sqrt{50},$$ что верно.

Вычислим $$\overline{z_1z_2}$$ и проверим равенство $$|\overline{z_1z_2}|=|z_1|\cdot|z_2|.$$

$$z_1z_2=(3-i)(1+2i)=3+6i-i-2i^2=5+5i,$$
$$\overline{z_1z_2}=5-5i,$$
$$|\overline{z_1z_2}|=\sqrt{5^2+(-5)^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$

$$|z_1|\cdot|z_2|=\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$

Значит, $$|\overline{z_1z_2}|=|z_1|\cdot|z_2|.$$

Проверим неравенство $$|z_1-z_2|>|z_1|-|z_2|.$$

$$z_1-z_2=(3-i)-(1+2i)=2-3i,$$
$$|z_1-z_2|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13},$$
$$|z_1|-|z_2|=\sqrt{10}-\sqrt{5}.$$

Тогда

$$\sqrt{13}>\sqrt{10}-\sqrt{5},$$
так как после возведения в квадрат получаем
$$13>15-2\sqrt{50},$$
$$-2>-2\sqrt{50},$$
$$1<\sqrt{50},$$ что верно.

Ответ

$$|z_1|=\sqrt{10},\quad |z_2|=\sqrt{5};$$
$$|\overline{z_1}|=|z_1|,\quad |\overline{z_2}|=|z_2|;$$
$$|z_1+z_2|=\sqrt{17}<\sqrt{10}+\sqrt{5};$$ $$|\overline{z_1z_2}|=|z_1|\cdot|z_2|=5\sqrt{2};$$ $$|z_1-z_2|=\sqrt{13}>\sqrt{10}-\sqrt{5}.$$