Упр.34.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Зная, что z1 = 2 — i, z2 = 4 + 3i, z3 = -2 + 5i, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами z1/z, z2/z, z3/z если: a) z = i; б) z = 2i; в) z = -i; г) г = 1 — i.
Даны числа $$z_1=2-i,\quad z_2=4+3i,\quad z_3=-2+5i.$$
Найдём координаты точек $$\frac{z_1}{z},\ \frac{z_2}{z},\ \frac{z_3}{z}$$ для каждого значения $$z$$.
Если $$z=i,$$ то
$$ \frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{i}=\frac{i(2-i)}{i^2}=-i(2-i)=-1-2i, $$
$$ \frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{i}=\frac{i(4+3i)}{i^2}=-i(4+3i)=3-4i, $$
$$ \frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{i}=\frac{i(-2+5i)}{i^2}=-i(-2+5i)=5+2i. $$Вершины треугольника: $$(-1,-2),\ (3,-4),\ (5,2).$$
Если $$z=2i,$$ то
$$ \frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{2i}=\frac{i(2-i)}{2i^2}=\frac{1+2i}{-2}=-\frac12-i, $$
$$ \frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{2i}=\frac{i(4+3i)}{2i^2}=\frac{-3+4i}{-2}=\frac32-2i, $$
$$ \frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{2i}=\frac{i(-2+5i)}{2i^2}=\frac{-5-2i}{-2}=\frac52+i. $$Вершины треугольника: $$\left(-\frac12,-1\right),\ \left(\frac32,-2\right),\ \left(\frac52,1\right).$$
Если $$z=-i,$$ то
$$ \frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{-i}=i(2-i)=1+2i, $$
$$ \frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{-i}=i(4+3i)=-3+4i, $$
$$ \frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{-i}=i(-2+5i)=-5-2i. $$Вершины треугольника: $$ (1,2),\ (-3,4),\ (-5,-2). $$
Если $$z=1-i,$$ то
$$ \frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i} =\frac{(2-i)(1+i)}{1-i^2} =\frac{3+i}{2}, $$
$$ \frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i} =\frac{(4+3i)(1+i)}{1-i^2} =\frac{1+7i}{2}, $$
$$ \frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i} =\frac{(-2+5i)(1+i)}{1-i^2} =\frac{-7+3i}{2}. $$Вершины треугольника: $$\left(\frac32,\frac12\right),\ \left(\frac12,\frac72\right),\ \left(-\frac72,\frac32\right).$$
Ответ
а) $$-1-2i,\ 3-4i,\ 5+2i$$;
б) $$-\frac12-i,\ \frac32-2i,\ \frac52+i$$;
в) $$1+2i,\ -3+4i,\ -5-2i$$;
г) $$\frac32+\frac12 i,\ \frac12+\frac72 i,\ -\frac72+\frac32 i$$.
