Упр.34.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Каждое комплексное число, действительная часть которого равна -4, умножили на z. Изобразите на комплексной плоскости полученное множество чисел, если: a) z = i; б) z = -3i; в) z = 1 — корень3 i; г) z = 3 — i.

Пусть исходное число имеет вид $$z_1=-4+bi,\quad b\in\mathbb{R}.$$

1. При $$z=i$$ получаем

   $$z_1z=(-4+bi)i=-4i+bi^2=-b-4i.$$

   Значит, $$x=-b,\ y=-4,$$ то есть множество точек задаётся уравнением

   $$y=-4.$$

2. При $$z=-3i$$ получаем

   $$z_1z=(-4+bi)(-3i)=12i-3bi^2=3b+12i.$$

   Значит, $$x=3b,\ y=12,$$ то есть

   $$y=12.$$

3. При $$z=1-\sqrt{3}\,i$$ получаем

   $$ z_1z=(-4+bi)(1-\sqrt{3}\,i) =-4+4\sqrt{3}\,i+bi-b\sqrt{3}\,i^2 $$

   $$ =(b\sqrt{3}-4)+(b+4\sqrt{3})i. $$

   Тогда

   $$x=b\sqrt{3}-4,\quad y=b+4\sqrt{3}.$$

   Исключим $$b$$:

   $$b=y-4\sqrt{3},$$

   $$ x=\sqrt{3}(y-4\sqrt{3})-4=\sqrt{3}y-16-4=\sqrt{3}y-20. $$

   Следовательно,

   $$y=\frac{x+20}{\sqrt{3}}.$$

4. При $$z=3-i$$ получаем

   $$ z_1z=(-4+bi)(3-i)=-12+4i+3bi-bi^2 $$

   $$ =(b-12)+(3b+4)i. $$

   Тогда

   $$x=b-12,\quad y=3b+4.$$

   Исключим $$b$$:

   $$b=x+12,$$

   $$ y=3(x+12)+4=3x+40. $$

Ответ

а) $$y=-4$$;
б) $$y=12$$;
в) $$y=\dfrac{x+20}{\sqrt{3}}$$;
г) $$y=3x+40$$.