Упр.34.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) z = z1/z2; б) z = (z1)3; в) z = (z1)4 / (z2)3; г) z = (z1)31 / (z2)33

Представим данные числа в тригонометрической форме:

$$z_1=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3},$$

$$z_2=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}.$$

1. $$z=\frac{z_1}{z_2}=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{5\pi}{6}\right)$$

   $$=\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-i,$$

   поэтому $$\arg z=-\frac{\pi}{2}.$$

2. $$z=z_1^3=\cos\left(3\cdot\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(3\cdot\frac{\pi}{3}\right)=\cos\pi+i\sin\pi=-1,$$

   следовательно, $$\arg z=\pi.$$

3. $$z=\frac{z_1^4}{z_2^3}=\cos\left(4\cdot\frac{\pi}{3}-3\cdot\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(4\cdot\frac{\pi}{3}-3\cdot\frac{5\pi}{6}\right)$$

   $$=\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6},$$

   значит, $$\arg z=\frac{5\pi}{6}.$$

4. $$z=\frac{z_1^{31}}{z_2^{33}}=\cos\left(31\cdot\frac{\pi}{3}-33\cdot\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(31\cdot\frac{\pi}{3}-33\cdot\frac{5\pi}{6}\right)$$

   $$=\cos\left(-\frac{103\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{103\pi}{6}\right)=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6},$$

   поэтому $$\arg z=\frac{5\pi}{6}.$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{2}$$; б) $$\pi$$; в) $$\frac{5\pi}{6}$$; г) $$\frac{5\pi}{6}$$.