Упр.34.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Зная, что z1 = 1/2 + корнеь3 /2 i и z2 = -корнеь /2 изобразите на комплексной плоскости числа z1, z2, z и найдите аргумент указанного числа z: a) z = z1z2; б) z = (z1)2 z2; в) z = z1(z2)5; г) z = (z1)11(z2)10.

Представим данные числа в тригонометрической форме:

$$z_1=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3},$$

$$z_2=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i=\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}.$$

Тогда при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их аргументы складываются, а модули перемножаются.

1. $$z=z_1z_2=1\cdot 1\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}\right)\right).$$

   $$z=\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}=\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right).$$

   Значит, $$\arg z=-\frac{5\pi}{6}.$$

2. $$z=(z_1)^2z_2=1^2\cdot 1\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}\right)\right).$$

   $$z=\cos\frac{9\pi}{6}+i\sin\frac{9\pi}{6}=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}=-i.$$

   Следовательно, $$\arg z=-\frac{\pi}{2}.$$

3. $$z=z_1(z_2)^5=1\cdot 1^5\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{5\cdot 5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{5\cdot 5\pi}{6}\right)\right).$$

   $$z=\cos\frac{27\pi}{6}+i\sin\frac{27\pi}{6}=\cos\frac{3\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi}{6}=i.$$

   Значит, $$\arg z=\frac{\pi}{2}.$$

4. $$z=(z_1)^{11}(z_2)^{10}=1^{11}\cdot 1^{10}\left(\cos\left(\frac{11\pi}{3}+\frac{50\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{11\pi}{3}+\frac{50\pi}{6}\right)\right).$$

   $$z=\cos\frac{36\pi}{3}+i\sin\frac{36\pi}{3}=\cos 12\pi+i\sin 12\pi=1.$$

   Следовательно, $$\arg z=0.$$

Ответ

а) $$\arg z=-\frac{5\pi}{6}$$; б) $$\arg z=-\frac{\pi}{2}$$; в) $$\arg z=\frac{\pi}{2}$$; г) $$\arg z=0$$.