Упр.34.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Зная, что z1 = корень2 /2 + корень2 /2 i и z2 = -корень2 /2 + корень2 /2 i, изобразите на комплексной плоскости числа z1, z2, z и найдите аргумент указанного числа z: a) z = z1z2; б) z = (z1)2 z2; в) z = z1(z2)3; г) z = (z1)5 (z2)3.
Представим данные числа в тригонометрической форме:
$$ z_1=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}, $$
$$ z_2=-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i=\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}. $$
Тогда при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
$$ z=z_1z_2 $$
$$ z=1\cdot1\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)\right) $$
$$ z=\cos\pi+i\sin\pi=-1. $$
Следовательно, $$\arg z=\pi.$$$$ z=(z_1)^2z_2 $$
$$ z=1^2\cdot1\left(\cos\left(\frac{2\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)\right) $$
$$ z=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}=\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right). $$
Значит, $$\arg z=-\frac{3\pi}{4}.$$$$ z=z_1(z_2)^3 $$
$$ z=1\cdot1^3\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3\cdot3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3\cdot3\pi}{4}\right)\right) $$
$$ z=\cos\frac{10\pi}{4}+i\sin\frac{10\pi}{4}=\cos\frac{5\pi}{2}+i\sin\frac{5\pi}{2}=i. $$
Следовательно, $$\arg z=\frac{\pi}{2}.$$$$ z=(z_1)^5(z_2)^3 $$
$$ z=1^5\cdot1^3\left(\cos\left(\frac{5\pi}{4}+\frac{3\cdot3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{4}+\frac{3\cdot3\pi}{4}\right)\right) $$
$$ z=\cos\frac{14\pi}{4}+i\sin\frac{14\pi}{4}=\cos\frac{7\pi}{2}+i\sin\frac{7\pi}{2}=-i. $$
Значит, $$\arg z=-\frac{\pi}{2}.$$
Ответ
а) $$\pi$$; б) $$-\frac{3\pi}{4}$$; в) $$\frac{\pi}{2}$$; г) $$-\frac{\pi}{2}$$.
