Упр.34.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Зная, что z = корень2 + корень2 i, найдите z2, запишите числа z и z2 в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости. б) Зная, что 2=2- 2корень3 i, найдите z2, запишите числа z и z2 в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости.

а) Пусть $$z=\sqrt{2}+\sqrt{2}i.$$ Тогда

$$ z^2=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^2=2+4i+2i^2=4i. $$

Запишем число $$z$$ в тригонометрической форме:

$$ |z|=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=2, $$

$$ \arg z=\frac{\pi}{4}, $$

значит

$$ z=2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right). $$

Для числа $$z^2=4i$$ имеем:

$$ |z^2|=4,\qquad \arg(z^2)=\frac{\pi}{2}, $$

то есть

$$ z^2=4\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right). $$

Сравним модули и аргументы:

$$ |z^2|=2|z|,\qquad \arg(z^2)=2\arg(z). $$

На комплексной плоскости числа соответствуют точкам $$\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$$ и $$\left(0,4\right).$$

б) Пусть $$z=2-2\sqrt{3}\,i.$$ Тогда

$$ z^2=(2-2\sqrt{3}\,i)^2=4-8\sqrt{3}\,i+12i^2=-8-8\sqrt{3}\,i. $$

Запишем число $$z$$ в тригонометрической форме:

$$ |z|=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=4, $$

$$ \arg z=-\frac{\pi}{3}, $$

значит

$$ z=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right). $$

Для числа $$z^2=-8-8\sqrt{3}\,i$$ имеем:

$$ |z^2|=\sqrt{(-8)^2+(-8\sqrt{3})^2}=\sqrt{64+192}=16, $$

$$ \arg(z^2)=-\frac{2\pi}{3}, $$

то есть

$$ z^2=16\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right). $$

Сравним модули и аргументы:

$$ |z^2|=4|z|,\qquad \arg(z^2)=2\arg(z). $$

На комплексной плоскости числа соответствуют точкам $$\left(2,-2\sqrt{3}\right)$$ и $$\left(-8,-8\sqrt{3}\right).$$

Ответ

а) $$z^2=4i$$, $$z=2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$, $$z^2=4\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)$$, $$|z^2|=2|z|$$, $$\arg(z^2)=2\arg(z)$$.
б) $$z^2=-8-8\sqrt{3}\,i$$, $$z=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$$, $$z^2=16\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)$$, $$|z^2|=4|z|$$, $$\arg(z^2)=2\arg(z)$$.