Упр.34.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Зная, что z = i, изобразите на комплексной плоскости числа z, z2, z3, z9, z99 и найдите их аргументы, б) Зная, что z = -i, изобразите на комплексной плоскости числа z, z5, z15, z(-25), z(-1001) и найдите их аргументы.
а) Если $$z=i,$$ то последовательно получаем:
$$ z^2=i^2=-1, \qquad z^3=i^3=-i, $$
$$ z^9=i^9=(i^2)^4\cdot i=i, \qquad z^{99}=i^{99}=(i^2)^{49}\cdot i=-i. $$
На комплексной плоскости это точки:
- $$z=z^9=i$$ — точка $$\,(0,1),$$
- $$z^2=-1$$ — точка $$\,(-1,0),$$
- $$z^3=z^{99}=-i$$ — точка $$\,(0,-1).$$
Аргументы этих чисел:
$$ \arg z=\arg z^9=\frac{\pi}{2}, \qquad \arg z^2=\pi, \qquad \arg z^3=\arg z^{99}=-\frac{\pi}{2}. $$
б) Если $$z=-i,$$ то:
$$ z^5=(-i)^5=-i, $$
$$ z^{15}=(-i)^{15}=i, $$
$$ z^{-25}=(-i)^{-25}=i, $$
$$ z^{-1001}=(-i)^{-1001}=i. $$
На комплексной плоскости это точки:
- $$z=z^5=-i$$ — точка $$\,(0,-1),$$
- $$z^{15}=z^{-25}=z^{-1001}=i$$ — точка $$\,(0,1).$$
Аргументы этих чисел:
$$ \arg z=\arg z^5=-\frac{\pi}{2}, \qquad \arg z^{15}=\arg z^{-25}=\arg z^{-1001}=\frac{\pi}{2}. $$
Ответ
а) $$z=i,\ z^2=-1,\ z^3=-i,\ z^9=i,\ z^{99}=-i;$$
$$ \arg z=\arg z^9=\frac{\pi}{2},\ \arg z^2=\pi,\ \arg z^3=\arg z^{99}=-\frac{\pi}{2}. $$
б) $$z=-i,\ z^5=-i,\ z^{15}=i,\ z^{-25}=i,\ z^{-1001}=i;$$
$$ \arg z=\arg z^5=-\frac{\pi}{2},\ \arg z^{15}=\arg z^{-25}=\arg z^{-1001}=\frac{\pi}{2}. $$
